三角形ABCにおいて、辺ACの長さが4、辺ABの対角である角Aの角度が30°、辺ABの長さが7であるとき、辺BCの長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺ACの長さが4、辺ABの対角である角Aの角度が30°、辺ABの長さが7であるとき、辺BCの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いて、辺BCの長さを求めます。

余弦定理は、三角形の3辺の長さと1つの角の関係を表す公式です。

三角形ABCにおいて、辺BCの長さを $a$、辺ACの長さを $b$、辺ABの長さを $c$、角Aの大きさを $A$ とすると、余弦定理は次のように表されます。

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$

この問題の場合、$a$ は求めるべき辺BCの長さ、$b = 4$、$c = 7$、$A = 30^\circ$ です。

$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を用いて、上記の式に値を代入します。

$a^2 = 4^2 + 7^2 - 2 \cdot 4 \cdot 7 \cdot \cos 30^\circ$

$a^2 = 16 + 49 - 56 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$a^2 = 65 - 28\sqrt{3}$

$a = \sqrt{65 - 28\sqrt{3}}$

3. 最終的な答え

$BC = \sqrt{65 - 28\sqrt{3}}$