$\theta$ が鋭角で、$\sin \theta = \frac{\sqrt{7}}{4}$ のとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\theta$ が鋭角で、$\sin \theta = \frac{\sqrt{7}}{4}$ のとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ という三角関数の恒等式を利用します。

$\sin \theta = \frac{\sqrt{7}}{4}$ を代入して $\cos \theta$ を求めます。

$\theta$ は鋭角なので、$\cos \theta > 0$ であることに注意します。

$(\frac{\sqrt{7}}{4})^2 + \cos^2 \theta = 1$

$\frac{7}{16} + \cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = 1 - \frac{7}{16}$

$\cos^2 \theta = \frac{16}{16} - \frac{7}{16}$

$\cos^2 \theta = \frac{9}{16}$

$\cos \theta = \pm \sqrt{\frac{9}{16}}$

$\cos \theta = \pm \frac{3}{4}$

$\theta$ は鋭角なので $\cos \theta > 0$ より

$\cos \theta = \frac{3}{4}$

次に、$\tan \theta$ を求めます。$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ を利用します。

$\tan \theta = \frac{\frac{\sqrt{7}}{4}}{\frac{3}{4}}$

$\tan \theta = \frac{\sqrt{7}}{4} \times \frac{4}{3}$

$\tan \theta = \frac{\sqrt{7}}{3}$

3. 最終的な答え

$\cos \theta = \frac{3}{4}$

$\tan \theta = \frac{\sqrt{7}}{3}$