$\theta$ が鈍角で、$\cos\theta = -\frac{1}{3}$ のとき、$\sin\theta$ と $\tan\theta$ の値を求めなさい。

1. 問題の内容

$\theta$ が鈍角で、$\cos\theta = -\frac{1}{3}$ のとき、$\sin\theta$ と $\tan\theta$ の値を求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ の関係式を利用して $\sin\theta$ を求めます。

$\cos\theta = -\frac{1}{3}$ を代入すると、

$\sin^2\theta + (-\frac{1}{3})^2 = 1$

$\sin^2\theta + \frac{1}{9} = 1$

$\sin^2\theta = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

したがって、$\sin\theta = \pm\sqrt{\frac{8}{9}} = \pm\frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\theta$は鈍角なので、$90^{\circ} < \theta < 180^{\circ}$ です。この範囲では$\sin\theta$は正の値を取るので、

$\sin\theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

次に、$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ を利用して $\tan\theta$ を求めます。

$\sin\theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$、$\cos\theta = -\frac{1}{3}$ を代入すると、

$\tan\theta = \frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{-\frac{1}{3}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \times (-3) = -2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$\sin\theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\tan\theta = -2\sqrt{2}$