与えられた三角関数の値を、指定された別の三角関数と鋭角を用いて表現する問題です。具体的には、以下の3つの問題を解きます。 (1) $\sin 130^\circ$ を鋭角のコサインで表す。 (2) $\cos 160^\circ$ を鋭角のサインで表す。 (3) $\tan 170^\circ$ を $\tan 80^\circ$ で表す。

1. 問題の内容

与えられた三角関数の値を、指定された別の三角関数と鋭角を用いて表現する問題です。具体的には、以下の3つの問題を解きます。

(1) $\sin 130^\circ$ を鋭角のコサインで表す。

(2) $\cos 160^\circ$ を鋭角のサインで表す。

(3) $\tan 170^\circ$ を $\tan 80^\circ$ で表す。

2. 解き方の手順

(1) $\sin 130^\circ$ の場合：

まず、$130^\circ$ を $90^\circ + \theta$ の形に変形します。$130^\circ = 90^\circ + 40^\circ$なので、$\sin 130^\circ = \sin (90^\circ + 40^\circ)$となります。

$\sin (90^\circ + \theta) = \cos \theta$ の公式より、$\sin (90^\circ + 40^\circ) = \cos 40^\circ$となります。

(2) $\cos 160^\circ$ の場合：

同様に、$160^\circ$ を $180^\circ - \theta$ の形に変形します。$160^\circ = 180^\circ - 20^\circ$なので、$\cos 160^\circ = \cos (180^\circ - 20^\circ)$となります。

$\cos (180^\circ - \theta) = - \cos \theta$ の公式より、$\cos (180^\circ - 20^\circ) = - \cos 20^\circ$となります。

$\cos(90^\circ-\theta) = \sin\theta$の公式より、$- \cos 20^\circ = - \cos (90^\circ-70^\circ) = - \sin 70^\circ$となります。

(3) $\tan 170^\circ$ の場合：

$170^\circ$ を $180^\circ - \theta$ の形に変形します。$170^\circ = 180^\circ - 10^\circ$なので、$\tan 170^\circ = \tan (180^\circ - 10^\circ)$となります。

$\tan (180^\circ - \theta) = -\tan \theta$ の公式より、$\tan (180^\circ - 10^\circ) = -\tan 10^\circ$となります。

$\tan(90^\circ-\theta) = \frac{1}{\tan\theta}$の公式より、$10^\circ=90^\circ-80^\circ$を代入すると、$-\tan 10^\circ = -\tan (90^\circ-80^\circ) = -\frac{1}{\tan 80^\circ}$となります。

3. 最終的な答え

(1) $\cos 40^\circ$

(2) $-\sin 70^\circ$

(3) $-\frac{1}{\tan 80^\circ}$