(2) 極座標で表された点 A ($2, \frac{5}{6}\pi$) と B ($2, \frac{3}{4}\pi$) の直交座標をそれぞれ選択肢の中から選ぶ問題。 (3) 次の極方程式で表された曲線の概形を選択肢の中から選ぶ問題。 (1) $r = \frac{2}{\sin\theta}$ (2) $r\cos(\theta - \frac{\pi}{3}) = 2$ (3) $r = 2\sin\theta$

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、解答を作成します。

1. 問題の内容

(2) 極座標で表された点 A ($2, \frac{5}{6}\pi$) と B ($2, \frac{3}{4}\pi$) の直交座標をそれぞれ選択肢の中から選ぶ問題。

(3) 次の極方程式で表された曲線の概形を選択肢の中から選ぶ問題。

(1) $r = \frac{2}{\sin\theta}$

(2) $r\cos(\theta - \frac{\pi}{3}) = 2$

(3) $r = 2\sin\theta$

2. 解き方の手順

(2)

* **点A ($2, \frac{5}{6}\pi$) の直交座標**

極座標 ($r, \theta$) と直交座標 ($x, y$) の変換式は、$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ です。

$\theta = \frac{5}{6}\pi$ のとき、 $\cos\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin\theta = \frac{1}{2}$ なので、

$x = 2\cos(\frac{5}{6}\pi) = 2 \times (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\sqrt{3}$

$y = 2\sin(\frac{5}{6}\pi) = 2 \times \frac{1}{2} = 1$

したがって、点Aの直交座標は $(-\sqrt{3}, 1)$ となり、選択肢③です。

* **点B ($2, \frac{3}{4}\pi$) の直交座標**

$\theta = \frac{3}{4}\pi$ のとき、 $\cos\theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$ なので、

$x = 2\cos(\frac{3}{4}\pi) = 2 \times (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\sqrt{2}$

$y = 2\sin(\frac{3}{4}\pi) = 2 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$

したがって、点Bの直交座標は $(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$ となり、選択肢④です。

(3)

* **(1) $r = \frac{2}{\sin\theta}$**

両辺に $\sin\theta$ をかけると、$r\sin\theta = 2$ となります。 $y = r\sin\theta$ なので、$y = 2$ となります。

これは、$y = 2$ の水平な直線を表します。選択肢①が対応します。

* **(2) $r\cos(\theta - \frac{\pi}{3}) = 2$**

三角関数の加法定理より、$\cos(\theta - \frac{\pi}{3}) = \cos\theta\cos\frac{\pi}{3} + \sin\theta\sin\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\cos\theta + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta$

これを代入すると、$r(\frac{1}{2}\cos\theta + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta) = 2$ となり、

$\frac{1}{2}r\cos\theta + \frac{\sqrt{3}}{2}r\sin\theta = 2$

$x = r\cos\theta$ , $y=r\sin\theta$を代入すると、$\frac{1}{2}x + \frac{\sqrt{3}}{2}y = 2$

$x+\sqrt{3}y = 4$となるので、$y=-\frac{1}{\sqrt{3}}x + \frac{4}{\sqrt{3}}$となります。

これは、$傾きが-\frac{1}{\sqrt{3}}$の直線を表します。選択肢④が対応します。

* **(3) $r = 2\sin\theta$**

両辺に $r$ をかけると、$r^2 = 2r\sin\theta$ となります。

$x^2 + y^2 = r^2$ と $y = r\sin\theta$ より、$x^2 + y^2 = 2y$ となります。

変形すると、$x^2 + y^2 - 2y = 0$ となり、$x^2 + (y - 1)^2 = 1$ となります。

これは、中心 $(0, 1)$, 半径 $1$ の円を表します。選択肢⑥が対応します。

3. 最終的な答え

(2)

エ: 3

オ: 4

(3)

カ: 1

キ: 4

ク: 6