複素数平面上の3点P, Q, Rが与えられたとき、$\angle QPR$を求める問題です。

1. 問題の内容

複素数平面上の3点P, Q, Rが与えられたとき、$\angle QPR$を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) P(2i), Q(4), R(6+4i)の場合：

まず、$\overrightarrow{PQ}$と$\overrightarrow{PR}$を求めます。

$\overrightarrow{PQ} = Q - P = 4 - 2i$

$\overrightarrow{PR} = R - P = (6+4i) - 2i = 6+2i$

次に、$\overrightarrow{PQ}$と$\overrightarrow{PR}$の偏角の差を求めます。

$\tan^{-1}\left(\frac{-2}{4}\right) = \tan^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)$

$\tan^{-1}\left(\frac{2}{6}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$

ここで、$PQ = 4 - 2i = 2(2 - i)$

$PR = 6 + 2i = 2(3 + i)$

$\frac{PR}{PQ} = \frac{3 + i}{2 - i} = \frac{(3 + i)(2 + i)}{(2 - i)(2 + i)} = \frac{6 + 3i + 2i - 1}{4 + 1} = \frac{5 + 5i}{5} = 1 + i$

したがって、$\angle QPR = \arg(1 + i) = \frac{\pi}{4}$

(2) P(-1+i), Q(1+2i), R(-2+3i)の場合：

$\overrightarrow{PQ} = Q - P = (1+2i) - (-1+i) = 2 + i$

$\overrightarrow{PR} = R - P = (-2+3i) - (-1+i) = -1 + 2i$

$\frac{PR}{PQ} = \frac{-1 + 2i}{2 + i} = \frac{(-1 + 2i)(2 - i)}{(2 + i)(2 - i)} = \frac{-2 + i + 4i + 2}{4 + 1} = \frac{5i}{5} = i$

したがって、$\angle QPR = \arg(i) = \frac{\pi}{2}$

(3) P($\sqrt{3}$+ i), Q(2$\sqrt{3}$+ i), R(-$\sqrt{3}$+7i)の場合：

$\overrightarrow{PQ} = Q - P = (2\sqrt{3}+ i) - (\sqrt{3}+ i) = \sqrt{3}$

$\overrightarrow{PR} = R - P = (-\sqrt{3}+7i) - (\sqrt{3}+ i) = -2\sqrt{3} + 6i$

$\frac{PR}{PQ} = \frac{-2\sqrt{3} + 6i}{\sqrt{3}} = -2 + 2\sqrt{3}i$

$\arg(-2 + 2\sqrt{3}i) = \frac{2\pi}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\angle QPR = \frac{1}{4}\pi$

(2) $\angle QPR = \frac{1}{2}\pi$

(3) $\angle QPR = \frac{2}{3}\pi$