与えられた媒介変数表示された曲線について、その概形として最も適当なものを、選択肢の中から選ぶ問題です。3つの媒介変数表示された曲線があり、それぞれア、イ、ウと対応しています。

1. 問題の内容

与えられた媒介変数表示された曲線について、その概形として最も適当なものを、選択肢の中から選ぶ問題です。3つの媒介変数表示された曲線があり、それぞれア、イ、ウと対応しています。

2. 解き方の手順

ア: $x = \cos \theta - 1$、$y = \sin \theta + 2$

$\cos \theta = x + 1$、$\sin \theta = y - 2$

$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$なので、

$(x+1)^2 + (y-2)^2 = 1$

これは中心 $(-1, 2)$、半径 1 の円を表します。選択肢から該当するものを探すと、選択肢の④が最も適当です。

イ: $x = 2\cos \theta + 2$、$y = \sin \theta + 1$

$\cos \theta = \frac{x-2}{2}$、$\sin \theta = y - 1$

$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$なので、

$\left(\frac{x-2}{2}\right)^2 + (y-1)^2 = 1$

$\frac{(x-2)^2}{4} + (y-1)^2 = 1$

これは中心 $(2, 1)$、x軸方向の半径 2、y軸方向の半径 1 の楕円を表します。選択肢から該当するものを探すと、選択肢の⑦が最も適当です。

ウ: $x = \sin \theta$、$y = \cos 2\theta + 1$

$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$なので、

$y = 1 - 2\sin^2 \theta + 1$

$y = 2 - 2\sin^2 \theta$

$y = 2 - 2x^2$

$y = -2x^2 + 2$

これは上に凸の放物線です。頂点は $(0, 2)$ です。選択肢から該当するものを探すと、選択肢の⓪が最も適当です。

3. 最終的な答え

ア: ④

イ: ⑦

ウ: ⓪