問題は以下の3つです。 (1) 媒介変数表示された曲線 $x = \cos \theta - 1$, $y = \sin \theta + 2$ の概形を選ぶ。 (2) 媒介変数表示された曲線 $x = -2\cos\theta + 2$, $y = \sin \theta + 1$ の概形を選ぶ。 (3) 媒介変数表示された曲線 $x = -\sin\theta$, $y = \cos 2\theta + 1$ の概形を選ぶ。 概形は0から8の中から選択します。

1. 問題の内容

問題は以下の3つです。

(1) 媒介変数表示された曲線 $x = \cos \theta - 1$, $y = \sin \theta + 2$ の概形を選ぶ。

(2) 媒介変数表示された曲線 $x = -2\cos\theta + 2$, $y = \sin \theta + 1$ の概形を選ぶ。

(3) 媒介変数表示された曲線 $x = -\sin\theta$, $y = \cos 2\theta + 1$ の概形を選ぶ。

概形は0から8の中から選択します。

2. 解き方の手順

(1) $x = \cos \theta - 1$, $y = \sin \theta + 2$ から $\cos \theta = x + 1$, $\sin \theta = y - 2$。

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、

$(x+1)^2 + (y-2)^2 = 1$。これは中心 $(-1, 2)$, 半径1の円を表す。

グラフの選択肢から、中心が$(-1, 2)$にある円を探すと、4が当てはまります。

(2) $x = -2\cos\theta + 2$, $y = \sin \theta + 1$ から $\cos \theta = (2-x)/2$, $\sin \theta = y - 1$。

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、

$(y-1)^2 + (\frac{2-x}{2})^2 = 1$

$(y-1)^2 + \frac{(x-2)^2}{4} = 1$。

これは中心 $(2, 1)$, x軸方向の半径2, y軸方向の半径1の楕円を表す。

グラフの選択肢から、中心が$(2, 1)$にある楕円を探すと、8が当てはまります。

(3) $x = -\sin\theta$, $y = \cos 2\theta + 1$ から $\sin \theta = -x$。

$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$ より、

$y = 1 - 2\sin^2 \theta + 1 = 2 - 2\sin^2 \theta = 2 - 2(-x)^2 = 2 - 2x^2$。

$y = -2x^2 + 2$。これは上に凸な放物線で、頂点が$(0, 2)$にある。

グラフの選択肢から、上に凸な放物線で、頂点が$(0, 2)$にあるものを探すと、0が当てはまります。

3. 最終的な答え

(1) 4

(2) 8

(3) 0