複素数平面上の原点Oと2点Q, Rが与えられたとき、$\angle QOR$を求める問題です。3つのケースがあります。 (1) $Q(4-3i)$, $R(7+i)$ (2) $Q(4)$, $R(2\sqrt{3}-2i)$ (3) $Q(-1+2i)$, $R(-1-3i)$

1. 問題の内容

複素数平面上の原点Oと2点Q, Rが与えられたとき、$\angle QOR$を求める問題です。3つのケースがあります。

(1) $Q(4-3i)$, $R(7+i)$

(2) $Q(4)$, $R(2\sqrt{3}-2i)$

(3) $Q(-1+2i)$, $R(-1-3i)$

2. 解き方の手順

$\angle QOR$は、複素数平面上の点Q,Rに対応する複素数$z_Q$, $z_R$を用いて、$arg(\frac{z_R}{z_Q})$で求められます。

(1) $z_Q = 4-3i$, $z_R = 7+i$

$\frac{z_R}{z_Q} = \frac{7+i}{4-3i} = \frac{(7+i)(4+3i)}{(4-3i)(4+3i)} = \frac{28+21i+4i-3}{16+9} = \frac{25+25i}{25} = 1+i$

$arg(1+i) = \frac{\pi}{4}$

したがって、$\angle QOR = \frac{\pi}{4}$

(2) $z_Q = 4$, $z_R = 2\sqrt{3}-2i$

$\frac{z_R}{z_Q} = \frac{2\sqrt{3}-2i}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$

$arg(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i) = -\frac{\pi}{6}$

したがって、$\angle QOR = -\frac{\pi}{6}$. 絶対値で答えるなら$\frac{\pi}{6}$。一般的には、絶対値が小さい方を答えます。したがって、$\angle QOR = -\frac{\pi}{6}$

(3) $z_Q = -1+2i$, $z_R = -1-3i$

$\frac{z_R}{z_Q} = \frac{-1-3i}{-1+2i} = \frac{(-1-3i)(-1-2i)}{(-1+2i)(-1-2i)} = \frac{1+2i+3i-6}{1+4} = \frac{-5+5i}{5} = -1+i$

$arg(-1+i) = \frac{3\pi}{4}$

したがって、$\angle QOR = \frac{3\pi}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $\angle QOR = \frac{1}{4}\pi$

(2) $\angle QOR = -\frac{1}{6}\pi$

(3) $\angle QOR = \frac{3}{4}\pi$