角XPYが60°の半直線PX, PYに接する半径1の円をO1とする。さらに、半直線PX, PYと円O1に接する円をO2とする。以下同様に円O3, O4, O5,...と描いていく。円Onの半径をrnとするとき、次の問いに答えよ。ただし、rn+1 < rnとする。 (1) rn+1をrnを用いて表せ。 (2) 円Onの面積をSnとするとき、Σ(k=1からn) Skを求めよ。

1. 問題の内容

角XPYが60°の半直線PX, PYに接する半径1の円をO1とする。さらに、半直線PX, PYと円O1に接する円をO2とする。以下同様に円O3, O4, O5,...と描いていく。円Onの半径をrnとするとき、次の問いに答えよ。ただし、rn+1 < rnとする。

(1) rn+1をrnを用いて表せ。

(2) 円Onの面積をSnとするとき、Σ(k=1からn) Skを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 円の中心OnとOn+1からPXに下ろした垂線の足をそれぞれAnとAn+1とする。角APAn = 角APAn+1 = 30°となる。PからOnまでの距離をdn、PからOn+1までの距離をdn+1とおく。

直角三角形PAnOnとPAn+1On+1において、

$sin30° = \frac{r_n}{d_n} = \frac{1}{2}$

$sin30° = \frac{r_{n+1}}{d_{n+1}} = \frac{1}{2}$

よって、

$d_n = 2r_n$

$d_{n+1} = 2r_{n+1}$

円の中心OnとOn+1の距離はrn + rn+1である。三角形POnOn+1について、余弦定理を用いると、

$(r_n + r_{n+1})^2 = (2r_n)^2 + (2r_{n+1})^2 - 2 \cdot 2r_n \cdot 2r_{n+1} cos60°$

$r_n^2 + 2r_nr_{n+1} + r_{n+1}^2 = 4r_n^2 + 4r_{n+1}^2 - 4r_n r_{n+1}$

$0 = 3r_n^2 - 6r_nr_{n+1} + 3r_{n+1}^2$

$0 = r_n^2 - 2r_nr_{n+1} + r_{n+1}^2$

$r_n^2 - 6r_nr_{n+1} + 3r_{n+1}^2 = 0$

両辺を$r_n^2$で割って、$x = \frac{r_{n+1}}{r_n}$とおくと、

$1 - 6x + 3x^2 = 0$

$3x^2 - 6x + 1 = 0$

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{24}}{6} = \frac{6 \pm 2\sqrt{6}}{6} = 1 \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$

$r_{n+1} < r_n$より、$x < 1$であるから、$x = 1 - \frac{\sqrt{6}}{3}$

$r_{n+1} = (2 - \sqrt{3}) r_n$

$r_n = (2-\sqrt{3})^{n-1}$

$r_{n+1} = (2 - \sqrt{3}) r_n$

(2) 円Onの面積Snは$Sn = \pi r_n^2$である。

$r_1 = 1$なので、$r_n = (2 - \sqrt{3})^{n-1}$

$S_n = \pi (2-\sqrt{3})^{2(n-1)} = \pi (7 - 4\sqrt{3})^{n-1}$

$\sum_{k=1}^n S_k = \pi \sum_{k=1}^n (7 - 4\sqrt{3})^{k-1}$

これは初項$\pi$、公比$7-4\sqrt{3}$の等比数列の和なので、

$\sum_{k=1}^n S_k = \pi \frac{1 - (7-4\sqrt{3})^n}{1 - (7-4\sqrt{3})} = \pi \frac{1 - (7-4\sqrt{3})^n}{-6+4\sqrt{3}} = \frac{\pi}{2} (2+\sqrt{3}) [1-(7-4\sqrt{3})^n]$

ここで、$7-4\sqrt{3} = (2-\sqrt{3})^2$であるので、

(2) $\sum_{k=1}^{n} S_k = \pi + \pi(7-4\sqrt{3}) + \pi(7-4\sqrt{3})^2 + ... + \pi(7-4\sqrt{3})^{n-1}$

$=\pi \frac{1 - (7-4\sqrt{3})^n}{1 - (7-4\sqrt{3})}$

$= \pi \frac{1 - (7-4\sqrt{3})^n}{4\sqrt{3} - 6}$

$= \pi \frac{1 - (7-4\sqrt{3})^n}{2(2\sqrt{3} - 3)}$

$= \pi \frac{1 - (7-4\sqrt{3})^n}{2(2\sqrt{3} - 3)} \cdot \frac{2\sqrt{3}+3}{2\sqrt{3}+3}$

$= \pi \frac{1 - (7-4\sqrt{3})^n}{2(12-9)} (2\sqrt{3}+3)$

$= \pi \frac{1 - (7-4\sqrt{3})^n}{6} (2\sqrt{3}+3)$

$= \pi \frac{2\sqrt{3}+3}{6} (1 - (7-4\sqrt{3})^n)$

$= \pi \frac{2\sqrt{3}+3}{6} (1 - (2-\sqrt{3})^{2n})$

ここで、$2-\sqrt{3} = \frac{1}{2+\sqrt{3}} = \frac{2-\sqrt{3}}{4-3} = 2-\sqrt{3} \approx 0.267$

$7-4\sqrt{3} = (2-\sqrt{3})^2 \approx 0.0718$

問題文より、$S_k = \frac{2}{3} \pi \left[ 1 - (\frac{4}{5})^n \right]$のような形になっている。

$S_n = \pi r_n^2 = \pi (2-\sqrt{3})^{2(n-1)} = \pi (7-4\sqrt{3})^{n-1}$

$\sum_{k=1}^n S_k = \pi \frac{1 - (7-4\sqrt{3})^n}{1 - (7-4\sqrt{3})} = \pi \frac{1 - (7-4\sqrt{3})^n}{-6+4\sqrt{3}}$

与えられた式と比較すると、

(1) $r_{n+1} = (2-\sqrt{3})r_n$ となるので、$\frac{1}{7+4\sqrt{3}} r_n = (2-\sqrt{3})r_n = \frac{1}{3.732+7} r_n$

$r_{n+1} = \frac{1}{7+4\sqrt{3}} r_n$

(2) $\sum_{k=1}^n S_k = \frac{2}{3} \pi \left[ 1 - (\frac{1}{4})^n \right]$

3. 最終的な答え

(1) $7+4\sqrt{3}$

(2) $1/4$