問題文は、3つの立体から構成される立体の体積を求めるものです。 * 1つ目は三角柱。 * 2つ目は台形を底面とする四角柱を、三角柱の側面に沿って切った立体。 * 3つ目は半径4のおうぎ形を底面とする立体を、2つ目の立体の側面に沿って切った立体。 * ABは半径4のおうぎ形の弧の $\frac{1}{2}$ の長さ。 問1：半径4のおうぎ形を含む立体の体積を求める。 問2：全体の立体の体積を求める。

以下、問題の解答です。

1. 問題の内容

問題文は、3つの立体から構成される立体の体積を求めるものです。

* 1つ目は三角柱。

* 2つ目は台形を底面とする四角柱を、三角柱の側面に沿って切った立体。

* 3つ目は半径4のおうぎ形を底面とする立体を、2つ目の立体の側面に沿って切った立体。

* ABは半径4のおうぎ形の弧の $\frac{1}{2}$ の長さ。

問1：半径4のおうぎ形を含む立体の体積を求める。

問2：全体の立体の体積を求める。

2. 解き方の手順

問1：半径4のおうぎ形を含む立体の体積

まず、おうぎ形の中心角を求めます。ABは半径4のおうぎ形の弧の $\frac{1}{2}$ の長さなので、おうぎ形の弧の長さは$2AB$。

おうぎ形の弧の長さの公式は $l = r\theta$ (l: 弧の長さ, r: 半径, $\theta$:中心角（ラジアン）)です。

$2AB = 4 \cdot \frac{60}{180}\pi = \frac{4\pi}{3}$

ここで、ABは図から $4 \cdot \tan(60^\circ) = 4\sqrt{3}$ です。したがって、おうぎ形の弧の長さは $2AB = 8\sqrt{3}$です。

中心角を$\theta$とおくと、$8\sqrt{3} = 4\theta$。よって$\theta=2\sqrt{3}$ラジアン。

おうぎ形の面積は$S = \frac{1}{2}r^2\theta$ (S:おうぎ形の面積, r:半径, $\theta$:中心角（ラジアン）)で求められます。

ただし、図では中心角が60°と書かれているので、60°（$\frac{\pi}{3}$ラジアン）のおうぎ形とします。

したがって、おうぎ形の面積は、

$S = \frac{1}{2} \cdot 4^2 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{8\pi}{3}$

おうぎ形を底面とする立体の高さは3なので、体積は

$V_1 = \frac{8\pi}{3} \cdot 3 = 8\pi$

問2：全体の立体の体積

全体の立体は3つの立体で構成されています。

1. 三角柱：底面は高さ4、底辺4、角度60°の三角形。高さは7。

底面積は $\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 \cdot \sin(60^\circ) = 4\sqrt{3}$

体積は $V_2 = 4\sqrt{3} \cdot 7 = 28\sqrt{3}$

2. 台形を底面とする四角柱を切った立体：台形の高さは3。上底4、下底は $\sqrt{4^2+3^2} = 5$。高さは7。

台形の面積は $\frac{1}{2} \cdot (4+5) \cdot 3 = \frac{27}{2}$

体積は $V_3 = \frac{27}{2} \cdot 7 = \frac{189}{2} = 94.5$

3. おうぎ形を底面とする立体：上記で計算したように、体積は $V_1 = 8\pi$

全体の体積は、

$V = V_1 + V_2 + V_3 = 8\pi + 28\sqrt{3} + \frac{189}{2} = 8\pi + 28\sqrt{3} + 94.5$

3. 最終的な答え

問1：半径4のおうぎ形を含む立体の体積: $8\pi$

問2：全体の立体の体積: $8\pi + 28\sqrt{3} + 94.5$