$0^\circ < x < 90^\circ$、 $0^\circ < y < 90^\circ$ のとき、次の問いに答えます。 (1) $\sin(x+y)$ と $\sin x + \sin y$ の大小を比較します。 (2) $2\sin(x+y)$ と $\sin 2x + \sin 2y$ の大小を比較します。

1. 問題の内容

$0^\circ < x < 90^\circ$、 $0^\circ < y < 90^\circ$ のとき、次の問いに答えます。

(1) $\sin(x+y)$ と $\sin x + \sin y$ の大小を比較します。

(2) $2\sin(x+y)$ と $\sin 2x + \sin 2y$ の大小を比較します。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$\sin x + \sin y - \sin(x+y)$ を計算します。

$\sin x + \sin y - \sin(x+y) = \sin x + \sin y - (\sin x \cos y + \cos x \sin y) = \sin x (1 - \cos y) + \sin y (1 - \cos x)$

$0^\circ < x < 90^\circ$、 $0^\circ < y < 90^\circ$ より、$\sin x > 0$、$\sin y > 0$、$\cos x < 1$、$\cos y < 1$ です。

したがって、$1 - \cos x > 0$、 $1 - \cos y > 0$ となります。

よって、$\sin x (1 - \cos y) + \sin y (1 - \cos x) > 0$ となり、$\sin x + \sin y > \sin(x+y)$ が成り立ちます。

(2)

次に、$2\sin(x+y) - (\sin 2x + \sin 2y)$ を計算します。

まず、和積の公式を使うと、$\sin 2x + \sin 2y = 2 \sin(x+y) \cos(x-y)$ です。

したがって、$2\sin(x+y) - (\sin 2x + \sin 2y) = 2\sin(x+y) - 2 \sin(x+y) \cos(x-y) = 2\sin(x+y) (1 - \cos(x-y))$

$0^\circ < x < 90^\circ$、 $0^\circ < y < 90^\circ$ より、$0^\circ < x+y < 180^\circ$ なので、$\sin(x+y) > 0$ です。

また、$x-y$ は $-90^\circ < x-y < 90^\circ$ の範囲の値をとります。

$-90^\circ < x-y < 90^\circ$ より、$-1 < \cos(x-y) \le 1$ となり、 $1-\cos(x-y) \ge 0$ です。

$1 - \cos(x-y) \ge 0$ より、$2 \sin(x+y) (1 - \cos(x-y)) \ge 0$ となります。

したがって、$2\sin(x+y) \ge \sin 2x + \sin 2y$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1) $\sin x + \sin y > \sin(x+y)$

(2) $2\sin(x+y) \ge \sin 2x + \sin 2y$