与えられた立体は3つの立体で構成されている。 1つ目は三角柱、2つ目は台形を底面とする四角柱を三角柱の側面に沿って切った立体、3つ目は半径4のおうぎ形を底面とする立体を2つ目の立体の側面に沿って切った立体である。 また、線分ABは半径4のおうぎ形の弧の長さの1/2である。 問題は以下の2つである。 1. 半径4のおうぎ形を含む立体の体積を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた立体は3つの立体で構成されている。

1つ目は三角柱、2つ目は台形を底面とする四角柱を三角柱の側面に沿って切った立体、3つ目は半径4のおうぎ形を底面とする立体を2つ目の立体の側面に沿って切った立体である。

また、線分ABは半径4のおうぎ形の弧の長さの1/2である。

問題は以下の2つである。

1. 半径4のおうぎ形を含む立体の体積を求めよ。

2. 立体全体の体積を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、問題文から読み取れる情報を整理する。

* おうぎ形の半径：$r=4$

* おうぎ形の中心角：問題文より、ABは半径4のおうぎ形の弧の長さの1/2なので、円周の1/6であることがわかる。したがって、中心角は$360^\circ/6=60^\circ$

* 四角柱の高さ：$h=3+4=7$（図より）

次に、1つ目の質問である「半径4のおうぎ形を含む立体の体積」を求める。

おうぎ形の面積は、$S = \frac{1}{2}r^2 \theta$ (ここで$\theta$はラジアン)で求められる。

$\theta = 60^\circ = \frac{\pi}{3}$ ラジアンなので、おうぎ形の面積は

$S = \frac{1}{2} \times 4^2 \times \frac{\pi}{3} = \frac{8\pi}{3}$

このおうぎ形を底面とする立体の体積は、底面積におうぎ形を含む立体の高さをかけたものである。高さは図から$h=7$と読み取れるので、体積は

$V_1 = S \times h = \frac{8\pi}{3} \times 7 = \frac{56\pi}{3}$

次に、2つ目の質問である「立体全体の体積」を求める。立体全体は、三角柱、台形柱を削った立体、おうぎ形柱を削った立体の3つから構成されている。

* 三角柱の体積：底面積は$4 \times 3 / 2 = 6$、高さは4なので、$6 \times 4 = 24$

* 台形柱を削った立体の体積：台形の面積は$(4+7) \times 4 / 2 = 22$なので、体積は$22 \times 4 = 88$。ただし、一部が削られている。

* おうぎ形柱を削った立体の体積：上記で計算したように、$V_1 = \frac{56\pi}{3}$

立体全体の体積を正確に計算するのは困難なので、それぞれの体積を足し合わせた近似値で評価することにする。

全体のおおよその体積は、$24 + 88 + \frac{56\pi}{3} \approx 24 + 88 + 58.6 \approx 170.6$

3. 最終的な答え

1. 半径4のおうぎ形を含む立体の体積: $\frac{56\pi}{3}$

2. この立体の体積: $24 + 88 + \frac{56\pi}{3}$