円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=8, BC=3, BD=7, AD=5である。 (1) ∠BADの大きさを求める。 (2) 辺CDの長さを求める。 (3) 四角形ABCDの面積を求める。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=8, BC=3, BD=7, AD=5である。

(1) ∠BADの大きさを求める。

(2) 辺CDの長さを求める。

(3) 四角形ABCDの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) ∠BADの大きさを求める。

△ABDにおいて、余弦定理より

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos ∠BAD$

$7^2 = 8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos ∠BAD$

$49 = 64 + 25 - 80 \cos ∠BAD$

$80 \cos ∠BAD = 40$

$\cos ∠BAD = \frac{1}{2}$

よって、∠BAD = 60°

(2) 辺CDの長さを求める。

円に内接する四角形の性質より、∠BCD = 180° - ∠BAD = 180° - 60° = 120°

△BCDにおいて、余弦定理より

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos ∠BCD$

$7^2 = 3^2 + CD^2 - 2 \cdot 3 \cdot CD \cdot \cos 120°$

$49 = 9 + CD^2 - 6 \cdot CD \cdot (-\frac{1}{2})$

$40 = CD^2 + 3CD$

$CD^2 + 3CD - 40 = 0$

$(CD + 8)(CD - 5) = 0$

CD > 0より、CD = 5

(3) 四角形ABCDの面積を求める。

四角形ABCDの面積は△ABDの面積と△BCDの面積の和である。

△ABDの面積は

$\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin ∠BAD = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot \sin 60° = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$

△BCDの面積は

$\frac{1}{2} \cdot BC \cdot CD \cdot \sin ∠BCD = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot \sin 120° = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15\sqrt{3}}{4}$

四角形ABCDの面積は

$10\sqrt{3} + \frac{15\sqrt{3}}{4} = \frac{40\sqrt{3} + 15\sqrt{3}}{4} = \frac{55\sqrt{3}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) ∠BAD = 60°

(2) CD = 5

(3) 四角形ABCDの面積 = $\frac{55\sqrt{3}}{4}$