円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB = 3\sqrt{2}$, $BC = 4$, $CD = \sqrt{2}$, $\angle ABC = 45^\circ$ であるとき、辺ADの長さを求める。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB = 3\sqrt{2}$, $BC = 4$, $CD = \sqrt{2}$, $\angle ABC = 45^\circ$ であるとき、辺ADの長さを求める。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle ABC$ に対して余弦定理を適用し、$AC$ の長さを求める。

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$

$AC^2 = (3\sqrt{2})^2 + 4^2 - 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 4 \cdot \cos(45^\circ)$

$AC^2 = 18 + 16 - 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 4 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$

$AC^2 = 34 - 24$

$AC^2 = 10$

$AC = \sqrt{10}$

次に、四角形ABCDは円に内接するので、$\angle ADC = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$

$\triangle ADC$ に対して余弦定理を適用し、$AD$ の長さを求める。

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos(\angle ADC)$

$10 = AD^2 + (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot AD \cdot \sqrt{2} \cdot \cos(135^\circ)$

$10 = AD^2 + 2 - 2 \cdot AD \cdot \sqrt{2} \cdot (-\frac{1}{\sqrt{2}})$

$10 = AD^2 + 2 + 2AD$

$AD^2 + 2AD - 8 = 0$

$(AD + 4)(AD - 2) = 0$

$AD = -4$ または $AD = 2$

$AD > 0$ であるから、$AD = 2$

3. 最終的な答え

$AD = 2$