$\cos A = \frac{1}{4}$ のとき、$\sin A$ と $\tan A$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\cos A = \frac{1}{4}$ のとき、$\sin A$ と $\tan A$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の基本的な関係式 $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ を用いて $\sin A$ を求める。

$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$

$\sin^2 A = 1 - \cos^2 A$

$\cos A = \frac{1}{4}$ を代入する。

$\sin^2 A = 1 - \left(\frac{1}{4}\right)^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$

$\sin A = \pm \sqrt{\frac{15}{16}} = \pm \frac{\sqrt{15}}{4}$

問題文にAの範囲の指定がないため、$\sin A$は正の値と負の値を取りうる。ここでは$0 < A < \frac{\pi}{2}$ であると仮定し、$\sin A$ は正の値のみを考慮する。

$\sin A = \frac{\sqrt{15}}{4}$

次に、$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$ を用いて $\tan A$ を求める。

$\tan A = \frac{\frac{\sqrt{15}}{4}}{\frac{1}{4}} = \sqrt{15}$

もし$\frac{\pi}{2} < A < \pi$ であれば、$\sin A = \frac{\sqrt{15}}{4}$、$\tan A = -\sqrt{15}$となる。

もし$\pi < A < \frac{3\pi}{2}$ であれば、$\sin A = -\frac{\sqrt{15}}{4}$、$\tan A = \sqrt{15}$となる。

もし$\frac{3\pi}{2} < A < 2\pi$ であれば、$\sin A = -\frac{\sqrt{15}}{4}$、$\tan A = -\sqrt{15}$となる。

3. 最終的な答え

$0 < A < \frac{\pi}{2}$ のとき、$\sin A = \frac{\sqrt{15}}{4}$, $\tan A = \sqrt{15}$

$\frac{\pi}{2} < A < \pi$ のとき、$\sin A = \frac{\sqrt{15}}{4}$, $\tan A = -\sqrt{15}$

$\pi < A < \frac{3\pi}{2}$ のとき、$\sin A = -\frac{\sqrt{15}}{4}$, $\tan A = \sqrt{15}$

$\frac{3\pi}{2} < A < 2\pi$ のとき、$\sin A = -\frac{\sqrt{15}}{4}$, $\tan A = -\sqrt{15}$