$a>0$, $b>0$ とする。点 $A(0,a)$ を中心とする半径 $r$ の円が、双曲線 $x^2 - \frac{y^2}{b^2} = 1$ と 2 点 $B(s,t)$, $C(-s,t)$ で接しているとする。ただし、$s>0$ とする。 (1) $r, s, t$ を、$a$ と $b$ を用いて表せ。 (2) $\triangle ABC$ が正三角形となる $a$ と $r$ が存在するような $b$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

$a>0$, $b>0$ とする。点 $A(0,a)$ を中心とする半径 $r$ の円が、双曲線 $x^2 - \frac{y^2}{b^2} = 1$ と 2 点 $B(s,t)$, $C(-s,t)$ で接しているとする。ただし、$s>0$ とする。

(1) $r, s, t$ を、$a$ と $b$ を用いて表せ。

(2) $\triangle ABC$ が正三角形となる $a$ と $r$ が存在するような $b$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

点 $B(s, t)$ は双曲線上の点であるから、

$s^2 - \frac{t^2}{b^2} = 1$

$t^2 = b^2(s^2 - 1)$

円の方程式は $x^2 + (y-a)^2 = r^2$ である。

双曲線と円が点 $B(s,t)$ で接するので、点 $B$ におけるそれぞれの接線が一致する。

双曲線 $x^2 - \frac{y^2}{b^2} = 1$ の点 $B(s,t)$ における接線は $sx - \frac{ty}{b^2} = 1$ である。

円 $x^2 + (y-a)^2 = r^2$ の点 $B(s,t)$ における接線は $sx + (t-a)(y-a) = r^2$ より、$sx + (t-a)y = r^2 + a(t-a) = t^2 - (t-a)^2 + a(t-a) = t^2 - t^2 + 2at - a^2 + at - a^2=t^2 + a^2 -at$となる。

円の接線は$sx + (t-a)(y-a)=0$つまり$sx+(t-a)y=t^2-at+a^2-r^2$

したがって$sx + (t-a)(y-a) = 0$.

円の接線は$sx + (t-a)y = r^2 + a(t-a) = r^2 + at-a^2$

つまり$sx + (t-a)y= s^2+ (t-a)t= s^2+t^2-at=s^2b^2-b^2+t^2-at$

接線の方程式は $sx - \frac{ty}{b^2} = 1$ より、$b^2 sx - ty = b^2$

$sx + (t-a)y = 0$ より、

傾きを比較すると、$\frac{s}{t/b^2} = \frac{s}{-(t-a)}$ なので、

$-\frac{t}{b^2} = t - a$ が必要。

したがって、$t - a = -\frac{t}{b^2}$ より、$t(1+\frac{1}{b^2}) = a$

$t = \frac{a}{1 + \frac{1}{b^2}} = \frac{ab^2}{b^2+1}$

$s^2 = \frac{t^2}{b^2} + 1 = \frac{a^2 b^4}{b^2 (b^2+1)^2} + 1 = \frac{a^2 b^2 + (b^2+1)^2}{(b^2+1)^2} = \frac{a^2 b^2 + b^4 + 2b^2 + 1}{(b^2+1)^2}$

$s = \sqrt{\frac{a^2b^2 + (b^2+1)^2}{(b^2+1)^2}} = \frac{\sqrt{a^2b^2 + (b^2+1)^2}}{b^2+1}$

$r^2 = s^2 + (t-a)^2 = s^2 + \frac{t^2}{b^4} = s^2 + \frac{a^2}{(b^2+1)^2b^2}$

$r=\sqrt{\frac{a^2b^2 + (b^2+1)^2}{(b^2+1)^2}+\frac{a^2}{(b^2+1)^2b^4}} = \sqrt{\frac{a^2b^2 + b^4+2b^2+1}{(b^2+1)^2}+\frac{a^2}{(b^2+1)^2b^4}} =\sqrt{\frac{a^2b^6 + b^8+2b^6+b^4+a^2}{(b^2+1)^2}}$

$r = \frac{\sqrt{a^2 +b^2*s^2} }{b^2+1}$

$r^2=s^2+(t-a)^2$

(2)

三角形 $ABC$ が正三角形となるには、$AB = BC = CA$ であることが必要十分である。$A = (0,a)$, $B = (s,t)$, $C = (-s,t)$ であるから、$BC = 2s$

AB = \sqrt{s^2 + (t-a)^2} = \sqrt{s^2 + \frac{t^2}{b^4}} = \sqrt{s^2 + (t/b^2)^2/b^2^2} =\frac{s}{t/b^2}

$2s = \sqrt{s^2 + (t-a)^2}$

$4s^2 = s^2 + (t-a)^2$

$3s^2 = (t-a)^2$

$\sqrt{3}s = a - t$

$t+\sqrt{3}s = a$

3. 最終的な答え

(1) $t = \frac{ab^2}{b^2+1}$, $s = \frac{\sqrt{a^2b^2 + (b^2+1)^2}}{b^2+1}$, $r = \sqrt{s^2 + (t-a)^2} = r=\frac{\sqrt{a^2b^6 + b^8+2b^6+b^4+a^2}}{(b^2+1)}$

(2) $a = t + \sqrt{3}s = \frac{ab^2}{b^2+1} + \sqrt{3}\frac{\sqrt{a^2b^2 + (b^2+1)^2}}{b^2+1}$

$a(b^2+1) = ab^2 + \sqrt{3}\sqrt{a^2b^2 + (b^2+1)^2}$

$a = \sqrt{3}\sqrt{a^2b^2 + (b^2+1)^2}$

$a(b^2+1-b^2)=\sqrt{3}\sqrt{a^2b^2+(b^2+1)^2}$

$a^2 = 3(a^2b^2 + (b^2+1)^2)$

$a^2 = 3 a^2b^2 + 3(b^2+1)^2$

$a^2(1-3b^2) = 3(b^2+1)^2$

$1-3b^2 > 0$ よって $3b^2 < 1$, $b^2 < \frac{1}{3}$, $0 < b < \frac{1}{\sqrt{3}}$

$a^2 = \frac{3(b^2+1)^2}{1-3b^2}$

$\frac{3(b^2+1)^2}{1-3b^2}>0$

$a = \sqrt{\frac{3(b^2+1)^2}{1-3b^2}}$

$0< b< \frac{1}{\sqrt{3}}$