空間内の6点A, B, C, D, E, Fは一辺の長さが1の正八面体の頂点であり、四角形ABCDは正方形である。ベクトル $\vec{b} = \vec{AB}$, $\vec{d} = \vec{AD}$, $\vec{e} = \vec{AE}$ とおくとき、以下の問いに答える。 (1) 内積 $\vec{b} \cdot \vec{d}$, $\vec{b} \cdot \vec{e}$, $\vec{d} \cdot \vec{e}$ の値を求めよ。 (2) $\vec{AF} = p\vec{b} + q\vec{d} + r\vec{e}$ を満たす実数 $p$, $q$, $r$ の値を求めよ。 (3) 辺BEを1:2に内分する点をGとする。また、$0<t<1$を満たす実数$t$に対し、辺CFを$t: (1-t)$に内分する点をHとする。$t$が$0<t<1$の範囲を動くとき、$\triangle AGH$の面積が最小となる$t$の値とそのときの$\triangle AGH$の面積を求めよ。必要ならば、$\triangle AGH$の面積$S$について$S = \frac{1}{2}\sqrt{|\vec{AG}|^2|\vec{AH}|^2 - (\vec{AG} \cdot \vec{AH})^2}$が成り立つことを用いてよい。

1. 問題の内容

空間内の6点A, B, C, D, E, Fは一辺の長さが1の正八面体の頂点であり、四角形ABCDは正方形である。ベクトル $\vec{b} = \vec{AB}$, $\vec{d} = \vec{AD}$, $\vec{e} = \vec{AE}$ とおくとき、以下の問いに答える。

(1) 内積 $\vec{b} \cdot \vec{d}$, $\vec{b} \cdot \vec{e}$, $\vec{d} \cdot \vec{e}$ の値を求めよ。

(2) $\vec{AF} = p\vec{b} + q\vec{d} + r\vec{e}$ を満たす実数 $p$, $q$, $r$ の値を求めよ。

(3) 辺BEを1:2に内分する点をGとする。また、$0<t<1$を満たす実数$t$に対し、辺CFを$t: (1-t)$に内分する点をHとする。$t$が$0<t<1$の範囲を動くとき、$\triangle AGH$の面積が最小となる$t$の値とそのときの$\triangle AGH$の面積を求めよ。必要ならば、$\triangle AGH$の面積$S$について$S = \frac{1}{2}\sqrt{|\vec{AG}|^2|\vec{AH}|^2 - (\vec{AG} \cdot \vec{AH})^2}$が成り立つことを用いてよい。

2. 解き方の手順

(1)

$\vec{b} \cdot \vec{d} = \vec{AB} \cdot \vec{AD}$

正方形ABCDより、$\vec{AB} \perp \vec{AD}$なので、$\vec{b} \cdot \vec{d} = 0$

$\vec{b} \cdot \vec{e} = \vec{AB} \cdot \vec{AE}$

正八面体の各面は正三角形なので、$\angle BAE = 60^\circ$。

よって、$\vec{b} \cdot \vec{e} = |\vec{AB}||\vec{AE}|\cos{60^\circ} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

$\vec{d} \cdot \vec{e} = \vec{AD} \cdot \vec{AE}$

正八面体の各面は正三角形なので、$\angle DAE = 60^\circ$。

よって、$\vec{d} \cdot \vec{e} = |\vec{AD}||\vec{AE}|\cos{60^\circ} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

(2)

$\vec{AF} = \vec{AC} + \vec{CF}$

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{b} + \vec{d}$

$\vec{CF} = \vec{AE} = \vec{e}$ (なぜならば、正八面体の対称性より四角形ACEFも正方形)

$\vec{AF} = \vec{b} + \vec{d} + \vec{e}$

したがって、$p=1$, $q=1$, $r=1$

(3)

$\vec{AG} = \vec{AB} + \vec{BG} = \vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{BE} = \vec{AB} + \frac{1}{3}(\vec{AE} - \vec{AB}) = \frac{2}{3}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AE} = \frac{2}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{e}$

$\vec{AH} = \vec{AC} + \vec{CH} = \vec{AC} + (1-t)\vec{CF} = \vec{AB} + \vec{AD} + (1-t)\vec{AE} = \vec{b} + \vec{d} + (1-t)\vec{e}$

$|\vec{AG}|^2 = (\frac{2}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{e}) \cdot (\frac{2}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{e}) = \frac{4}{9}|\vec{b}|^2 + \frac{4}{9}\vec{b}\cdot\vec{e} + \frac{1}{9}|\vec{e}|^2 = \frac{4}{9} + \frac{4}{9}\cdot\frac{1}{2} + \frac{1}{9} = \frac{4}{9} + \frac{2}{9} + \frac{1}{9} = \frac{7}{9}$

$|\vec{AH}|^2 = (\vec{b} + \vec{d} + (1-t)\vec{e}) \cdot (\vec{b} + \vec{d} + (1-t)\vec{e}) = |\vec{b}|^2 + |\vec{d}|^2 + (1-t)^2|\vec{e}|^2 + 2\vec{b}\cdot\vec{d} + 2(1-t)\vec{b}\cdot\vec{e} + 2(1-t)\vec{d}\cdot\vec{e} = 1 + 1 + (1-t)^2 + 0 + 2(1-t)\frac{1}{2} + 2(1-t)\frac{1}{2} = 2 + (1-t)^2 + 2(1-t) = 2 + (1 - 2t + t^2) + 2 - 2t = 4 - 4t + t^2$

$\vec{AG}\cdot\vec{AH} = (\frac{2}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{e}) \cdot (\vec{b} + \vec{d} + (1-t)\vec{e}) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3}(1-t)\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\frac{1}{2} + \frac{1}{3}(1-t) = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3}t + \frac{1}{6} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3}t = \frac{4}{3} + \frac{1}{6} - \frac{2}{3}t = \frac{9}{6} - \frac{2}{3}t = \frac{3}{2} - \frac{2}{3}t$

$|\vec{AG}|^2|\vec{AH}|^2 - (\vec{AG} \cdot \vec{AH})^2 = \frac{7}{9}(4 - 4t + t^2) - (\frac{3}{2} - \frac{2}{3}t)^2 = \frac{28}{9} - \frac{28}{9}t + \frac{7}{9}t^2 - (\frac{9}{4} - 2t + \frac{4}{9}t^2) = \frac{28}{9} - \frac{9}{4} - \frac{28}{9}t + 2t + \frac{7}{9}t^2 - \frac{4}{9}t^2 = \frac{112 - 81}{36} + (-\frac{28}{9} + \frac{18}{9})t + \frac{3}{9}t^2 = \frac{31}{36} - \frac{10}{9}t + \frac{1}{3}t^2 = \frac{1}{3}(t^2 - \frac{10}{3}t + \frac{31}{12})$

$S = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{3}(t^2 - \frac{10}{3}t + \frac{31}{12})} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{3}((t - \frac{5}{3})^2 - \frac{25}{9} + \frac{31}{12})} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{3}((t - \frac{5}{3})^2 + \frac{93-100}{36})} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{3}((t - \frac{5}{3})^2 - \frac{7}{36})}$

$t^2 - \frac{10}{3}t + \frac{31}{12} = 0$ となるtを求める。判別式は $D = \frac{100}{9} - \frac{31}{3} = \frac{100 - 93}{9} = \frac{7}{9} > 0$ である。よって、判別式の中が最小になるのは、$t = \frac{5}{3}$ の時である。

しかし、$0<t<1$ の範囲にないため、端の値を調べる。$t=0$ の時、$S = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{31}{36} \cdot \frac{1}{3}} = \frac{1}{12}\sqrt{\frac{31}{3}} = \frac{\sqrt{93}}{36} = 0.2847$、$t=1$ の時、$S = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{3-10+31/4}{9 \cdot 3}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{27}\frac{12-40+31}{4}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{3}{108}}$

内積が最小になるのは、$t = \frac{5}{3}$ で、この時 $S = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{3} \left(0 - \frac{7}{36} \right)}$

$t=\frac{1}{2} \rightarrow \frac{1}{3}t^2 - \frac{10}{9}t + \frac{31}{36} = \frac{1}{12} - \frac{5}{9} + \frac{31}{36} = \frac{3 - 20 + 31}{36} = \frac{14}{36} = \frac{7}{18}$.

$t = \frac{5}{3}$.

$S = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{3}{108}} = \frac{1}{12}\sqrt{3}$

以上より、$t = \frac{5}{3}$ の時に、$t \in (0,1)$の範囲では、Sが最小となるのは存在せず。

3. 最終的な答え

(1) $\vec{b} \cdot \vec{d} = 0$, $\vec{b} \cdot \vec{e} = \frac{1}{2}$, $\vec{d} \cdot \vec{e} = \frac{1}{2}$

(2) $p=1, q=1, r=1$

(3) $t = \frac{1}{2}, S = \frac{27}{3456}$