楕円 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

1. 問題の内容

楕円 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた楕円の式を $y$ について解きます。

$\frac{y^2}{4} = 1 - \frac{x^2}{9}$

$y^2 = 4(1 - \frac{x^2}{9}) = 4 - \frac{4x^2}{9}$

$y = \pm \sqrt{4 - \frac{4x^2}{9}} = \pm 2\sqrt{1 - \frac{x^2}{9}} = \pm \frac{2}{3}\sqrt{9 - x^2}$

楕円は$x$軸に関して対称なので、上半分の面積を求めて2倍すれば全体の面積になります。

上半分の楕円は$y = \frac{2}{3}\sqrt{9 - x^2}$です。

面積 $S$ は以下の積分で求めることができます。

$S = 2 \int_{-3}^{3} \frac{2}{3} \sqrt{9 - x^2} dx = \frac{4}{3} \int_{-3}^{3} \sqrt{9 - x^2} dx$

ここで、$x = 3\sin{\theta}$ と置換します。すると、$dx = 3\cos{\theta} d\theta$ となります。

$x = -3$ のとき、$\sin{\theta} = -1$ より $\theta = -\frac{\pi}{2}$

$x = 3$ のとき、$\sin{\theta} = 1$ より $\theta = \frac{\pi}{2}$

$\sqrt{9 - x^2} = \sqrt{9 - 9\sin^2{\theta}} = \sqrt{9(1 - \sin^2{\theta})} = 3\cos{\theta}$

したがって、

$S = \frac{4}{3} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (3\cos{\theta})(3\cos{\theta}) d\theta = \frac{4}{3} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 9\cos^2{\theta} d\theta = 12 \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2{\theta} d\theta$

ここで、$\cos^2{\theta} = \frac{1 + \cos{2\theta}}{2}$ を用いると、

$S = 12 \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos{2\theta}}{2} d\theta = 6 \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos{2\theta}) d\theta = 6 \left[ \theta + \frac{1}{2}\sin{2\theta} \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}$

$S = 6 \left[ (\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\sin{\pi}) - (-\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\sin{(-\pi)}) \right] = 6 \left[ \frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2}) \right] = 6\pi$

3. 最終的な答え

$6\pi$