楕円 $4x^2 + 9y^2 = 1$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

1. 問題の内容

楕円 $4x^2 + 9y^2 = 1$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた楕円の式を標準形に変形します。

$4x^2 + 9y^2 = 1$ を変形すると、

$\frac{x^2}{\left(\frac{1}{2}\right)^2} + \frac{y^2}{\left(\frac{1}{3}\right)^2} = 1$

これは、半長軸が $\frac{1}{2}$、半短軸が $\frac{1}{3}$ の楕円です。

楕円の面積は、円の面積を拡大・縮小することで求められます。具体的には、$x = \frac{1}{2} \cos \theta$, $y = \frac{1}{3} \sin \theta$ とパラメータ表示すると、

$S = \int_0^{2\pi} y \frac{dx}{d\theta} d\theta = \int_0^{2\pi} \frac{1}{3} \sin \theta \cdot \left(-\frac{1}{2} \sin \theta\right) d\theta$

と計算できますが、別の考え方で求めます。

半径1の円 $x'^2 + y'^2 = 1$ の面積は $\pi$ です。

$x' = 2x, y' = 3y$ という変換を考えると、$x'^2 + y'^2 = (2x)^2 + (3y)^2 = 4x^2 + 9y^2 = 1$ となります。

この変換は、x軸方向に$\frac{1}{2}$倍、y軸方向に$\frac{1}{3}$倍に縮小する変換です。

したがって、面積は $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ 倍になります。

よって、楕円の面積は $S = \pi \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{\pi}{6}$ となります。

3. 最終的な答え

$S = \frac{\pi}{6}$