円 $x^2 + y^2 = 2$ と次の直線との共有点の座標を求める。 (1) $y = x$ (2) $y = x - 2$

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 2$ と次の直線との共有点の座標を求める。

(1) $y = x$

(2) $y = x - 2$

2. 解き方の手順

(1) $y = x$ の場合

円の方程式 $x^2 + y^2 = 2$ に $y = x$ を代入する。

$x^2 + x^2 = 2$

$2x^2 = 2$

$x^2 = 1$

$x = \pm 1$

$x = 1$ のとき $y = 1$

$x = -1$ のとき $y = -1$

したがって、共有点の座標は $(1, 1)$ と $(-1, -1)$。

(2) $y = x - 2$ の場合

円の方程式 $x^2 + y^2 = 2$ に $y = x - 2$ を代入する。

$x^2 + (x - 2)^2 = 2$

$x^2 + x^2 - 4x + 4 = 2$

$2x^2 - 4x + 2 = 0$

$x^2 - 2x + 1 = 0$

$(x - 1)^2 = 0$

$x = 1$

$x = 1$ のとき $y = 1 - 2 = -1$

したがって、共有点の座標は $(1, -1)$。

3. 最終的な答え

(1) $(1, 1), (-1, -1)$

(2) $(1, -1)$