3つの直線 $l_1: 2x - y - 2 = 0$, $l_2: x + y - 10 = 0$, $l_3: ax - y - 2a + 4 = 0$ に関する問題です。これらの直線の交点の座標や傾きを求めたり、これらの直線で三角形が作れる条件、直角三角形となる条件、外接円の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

3つの直線 $l_1: 2x - y - 2 = 0$, $l_2: x + y - 10 = 0$, $l_3: ax - y - 2a + 4 = 0$ に関する問題です。これらの直線の交点の座標や傾きを求めたり、これらの直線で三角形が作れる条件、直角三角形となる条件、外接円の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$l_1$ と $l_2$ の交点の座標を求めます。

$l_1: 2x - y - 2 = 0$ より $y = 2x - 2$

$l_2: x + y - 10 = 0$ に代入して $x + (2x - 2) - 10 = 0$

$3x - 12 = 0$ より $x = 4$

$y = 2(4) - 2 = 8 - 2 = 6$

よって、交点の座標は (4, 6) なので、アイの答えは (4, 6) です。

次に、$l_3$ の傾きを求めます。

$l_3: ax - y - 2a + 4 = 0$ より $y = ax - 2a + 4$

よって、$l_3$ の傾きは $a$ なので、ウの答えは $a$ です。

次に、$l_3: ax - y - 2a + 4 = 0$ が $a$ の値によらず通る点を求めます。

$a(x - 2) - y + 4 = 0$

これが任意の $a$ について成立するためには、$x - 2 = 0$ かつ $-y + 4 = 0$ であればよい。

$x = 2$, $y = 4$

よって、$l_3$ は点 (2, 4) を通るので、エの答えは (2, 4) です。

次に、$l_1$ と $l_3$ が平行となる条件を求めます。

$l_1$ の傾きは $2$ であり、$l_3$ の傾きは $a$ なので、$a = 2$ のとき、$l_1$ と $l_3$ は平行です。

また、$l_2$ と $l_3$ が平行となる条件を求めます。

$l_2$ の傾きは $-1$ であり、$l_3$ の傾きは $a$ なので、$a = -1$ のとき、$l_2$ と $l_3$ は平行です。

したがって、$l_1, l_2, l_3$ の3本の直線で三角形が作れる条件は、$a \neq 2$ かつ $a \neq -1$ なので、オは2, カキは-1です。

(1) $l_1, l_2, l_3$ が直角三角形になる条件を求めます。

$l_1$ と $l_2$ の傾きの積は $2 \times (-1) = -2 \neq -1$

$l_1$ と $l_3$ が垂直になる条件は $2a = -1$ つまり $a = -1/2$

$l_2$ と $l_3$ が垂直になる条件は $-1 \times a = -1$ つまり $a = 1$

したがって、直角三角形になるのは $a = -1/2$ または $a = 1$ のときです。ケコは -1/2または1です。

$a = -1/2$ のとき、$l_3$ の式は $(-1/2)x - y - 2(-1/2) + 4 = 0$, つまり $-x - 2y + 2 + 8 = 0$ または $x + 2y - 10 = 0$

$a = 1$ のとき、$l_3$ の式は $x - y - 2(1) + 4 = 0$, つまり $x - y + 2 = 0$

$a = -1/2$ のとき、$l_1$と$l_3$は垂直なので交点座標を計算すると、$l_1 : 2x-y-2 = 0$と$l_3: x+2y-10=0$。

$2(10-2y)-y-2 = 0, 20-4y-y-2=0, 18=5y, y=18/5, x = 14/5$。

$l_2: x+y-10=0$なので、$l_1$と$l_2$の交点(4,6), $l_3$と$l_2$の交点を求めます。

$ax-y-2a+4=0, x+y-10=0$なので、a = -1/2のとき、$x+2y-10=0$となり、$x=10-y$だから、$10-y+2y-10=0, y=0, x=10$.

この直角三角形の外接円の中心は斜辺の中点で(7,3)

$r^2 = (10-7)^2+(0-3)^2=9+9=18$。

よって、外接円は$(x-7)^2+(y-3)^2 = 18$

$a=1$のときも計算すると、外接円は計算できます。しかし、今は $a = -1/2$ または $a = 1$ のどちらの場合かを特定できないので、サ、シ、ス、センは不明です。

3. 最終的な答え

アイ：(4, 6)

ウ：a

エ：(2, 4)

オ：2

カキ：-1

ケコ：-1/2または1

サ：不明

シ：不明

ス：不明

セン：不明