$x^2 + y^2 - 1 + k(x - y - \sqrt{2}) = 0$ という円の式が与えられている。この円は $k$ の値に関わらず定点Aを通る。この定点Aの座標を求めよ。また、円 $(x-1)^2 + (y-1)^2 = 9$ と上記の円がただ一つの共有点を持ち、かつ $k > 0$ であるときの $k$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x^2 + y^2 - 1 + k(x - y - \sqrt{2}) = 0$ という円の式が与えられている。この円は $k$ の値に関わらず定点Aを通る。この定点Aの座標を求めよ。また、円 $(x-1)^2 + (y-1)^2 = 9$ と上記の円がただ一つの共有点を持ち、かつ $k > 0$ であるときの $k$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 定点Aの座標を求める

$x^2 + y^2 - 1 + k(x - y - \sqrt{2}) = 0$ を $k$ について整理すると、

$x^2 + y^2 - 1 + k(x - y - \sqrt{2}) = 0$

$x^2 + y^2 - 1 + k(x - y - \sqrt{2}) = 0$ は、$k$ の値に関わらず成り立つので、以下の2式が成り立つ。

$x^2 + y^2 - 1 = 0$

$x - y - \sqrt{2} = 0$

よって、$y = x - \sqrt{2}$

これを $x^2 + y^2 - 1 = 0$ に代入すると、

$x^2 + (x - \sqrt{2})^2 - 1 = 0$

$x^2 + x^2 - 2\sqrt{2}x + 2 - 1 = 0$

$2x^2 - 2\sqrt{2}x + 1 = 0$

$(\sqrt{2}x - 1)^2 = 0$

$x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$y = x - \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

したがって、定点Aの座標は $(\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$

(2) $k$ の値を求める

与えられた円の方程式は、

$x^2 + y^2 - 1 + k(x - y - \sqrt{2}) = 0$

$x^2 + kx + y^2 - ky - 1 - k\sqrt{2} = 0$

$(x + \frac{k}{2})^2 - \frac{k^2}{4} + (y - \frac{k}{2})^2 - \frac{k^2}{4} - 1 - k\sqrt{2} = 0$

$(x + \frac{k}{2})^2 + (y - \frac{k}{2})^2 = \frac{k^2}{2} + k\sqrt{2} + 1$

よって、この円の中心は $(-\frac{k}{2}, \frac{k}{2})$ であり、半径は $\sqrt{\frac{k^2}{2} + k\sqrt{2} + 1}$ である。

もう一つの円は $(x-1)^2 + (y-1)^2 = 9$ であり、中心は $(1, 1)$ であり、半径は $3$ である。

2つの円がただ一つの共有点を持つためには、2つの円が接する必要がある。

2円の中心間の距離は $\sqrt{(-\frac{k}{2} - 1)^2 + (\frac{k}{2} - 1)^2} = \sqrt{\frac{k^2}{4} + k + 1 + \frac{k^2}{4} - k + 1} = \sqrt{\frac{k^2}{2} + 2}$

2円の半径の和または差が、中心間の距離に等しい。

$\sqrt{\frac{k^2}{2} + k\sqrt{2} + 1} + 3 = \sqrt{\frac{k^2}{2} + 2}$ または $|\sqrt{\frac{k^2}{2} + k\sqrt{2} + 1} - 3| = \sqrt{\frac{k^2}{2} + 2}$

$k > 0$ なので、$\sqrt{\frac{k^2}{2} + k\sqrt{2} + 1} = 3 + \sqrt{\frac{k^2}{2} + 2}$ は明らかに成り立たない。

したがって、$3 - \sqrt{\frac{k^2}{2} + k\sqrt{2} + 1} = \sqrt{\frac{k^2}{2} + 2}$ または $\sqrt{\frac{k^2}{2} + k\sqrt{2} + 1} - 3 = \sqrt{\frac{k^2}{2} + 2}$

$\sqrt{\frac{k^2}{2} + k\sqrt{2} + 1} = 3 - \sqrt{\frac{k^2}{2} + 2}$ の場合は、右辺が正である必要があるので、$3 > \sqrt{\frac{k^2}{2} + 2}$ より $9 > \frac{k^2}{2} + 2$ より $14 > k^2$ より $-\sqrt{14} < k < \sqrt{14}$.

$\sqrt{\frac{k^2}{2} + k\sqrt{2} + 1} = \sqrt{\frac{k^2}{2} + 2} + 3$ とすると、$\frac{k^2}{2} + k\sqrt{2} + 1 = \frac{k^2}{2} + 2 + 6\sqrt{\frac{k^2}{2} + 2} + 9$

$k\sqrt{2} - 10 = 6\sqrt{\frac{k^2}{2} + 2}$

$2k^2 - 20\sqrt{2}k + 100 = 36(\frac{k^2}{2} + 2)$

$2k^2 - 20\sqrt{2}k + 100 = 18k^2 + 72$

$16k^2 + 20\sqrt{2}k - 28 = 0$

$4k^2 + 5\sqrt{2}k - 7 = 0$

$k = \frac{-5\sqrt{2} \pm \sqrt{50 + 112}}{8} = \frac{-5\sqrt{2} \pm \sqrt{162}}{8} = \frac{-5\sqrt{2} \pm 9\sqrt{2}}{8}$

$k = \frac{4\sqrt{2}}{8} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ または $k = \frac{-14\sqrt{2}}{8} = \frac{-7\sqrt{2}}{4}$

$k > 0$ なので、 $k = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sqrt{\frac{k^2}{2} + k\sqrt{2} + 1} = 3 - \sqrt{\frac{k^2}{2} + 2}$ とすると、$\frac{k^2}{2} + k\sqrt{2} + 1 = 9 - 6\sqrt{\frac{k^2}{2} + 2} + \frac{k^2}{2} + 2$

$k\sqrt{2} - 10 = -6\sqrt{\frac{k^2}{2} + 2}$

$k\sqrt{2} < 10$ なので、$k < \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}$

$2k^2 - 20\sqrt{2}k + 100 = 36(\frac{k^2}{2} + 2)$

$2k^2 - 20\sqrt{2}k + 100 = 18k^2 + 72$

$16k^2 + 20\sqrt{2}k - 28 = 0$

$4k^2 + 5\sqrt{2}k - 7 = 0$

$k = \frac{-5\sqrt{2} \pm \sqrt{50 + 112}}{8} = \frac{-5\sqrt{2} \pm \sqrt{162}}{8} = \frac{-5\sqrt{2} \pm 9\sqrt{2}}{8}$

$k = \frac{4\sqrt{2}}{8} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ または $k = \frac{-14\sqrt{2}}{8} = \frac{-7\sqrt{2}}{4}$

$k > 0$ なので、 $k = \frac{\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

定点Aの座標: $(\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$

kの値: $\frac{\sqrt{2}}{2}$