直角三角形ABCがあり、AB=20cm, BC=16cm, CA=12cm, ∠ACB=90°である。点Dは線分BC上にあり、BD=10cmである。点Pは秒速5cmでAB上を移動し、点Qは秒速3cmでAC上を移動する。2点P、Qは同時に点Aを出発してから$x$秒後の三角形APQの面積を$y$ $cm^2$とする。 (1) $x=2$のとき、$y$の値を求める。 (2) $x=5$のとき、$y$の値を求める。 (3) $0 \le x \le 4$のとき、$y$を$x$の式で表す。 (4) $y=40$のとき、$x$の値を求める。

1. 問題の内容

直角三角形ABCがあり、AB=20cm, BC=16cm, CA=12cm, ∠ACB=90°である。点Dは線分BC上にあり、BD=10cmである。点Pは秒速5cmでAB上を移動し、点Qは秒速3cmでAC上を移動する。2点P、Qは同時に点Aを出発してから$x$秒後の三角形APQの面積を$y$ $cm^2$とする。

(1) $x=2$のとき、$y$の値を求める。

(2) $x=5$のとき、$y$の値を求める。

(3) $0 \le x \le 4$のとき、$y$を$x$の式で表す。

(4) $y=40$のとき、$x$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $x=2$のとき、APの長さは$5 \times 2 = 10$cm、AQの長さは$3 \times 2 = 6$cmである。

三角形APQの面積は、

$y = \frac{1}{2} \times AP \times AQ \times \sin A$

$\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{16}{20} = \frac{4}{5}$

$y = \frac{1}{2} \times 10 \times 6 \times \frac{4}{5} = 24$

(2) $x=5$のとき、$5x = 25 > 20$なので、点PはAB上にはない。点PはAB上を4秒間移動し、その後BC上を1秒移動している。PはBから$5(5-4) = 5$cm移動した位置にある。

点Qは、$3 \times 5 = 15 > 12$ なので、QはAC上にはない。点QはAC上を4秒間移動し、その後CB上を1秒移動している。QはCから$3(5-4) = 3$cm移動した位置にある。

三角形APQの面積は求めるのが難しいので、三角形ABCから三角形PQC、三角形ABPを引く。しかしPがBC上に、QがCB上にあるのでさらに難しくなる。

点Pは、AB上を4秒でAからBに到達する。点Qは、AC上を4秒でAからCに到達する。

$x=5$のとき、PはBからDに向かって1秒移動し、QはCからDに向かって1秒移動する。

PはBD上でBから5cmの位置にある。QはCD上でCから3cmの位置にある。

三角形APQの面積は、三角形ABC - (三角形PBQ + 三角形APC + 三角形BQA)

$\frac{1}{2} \times 12 \times 16 - (\frac{1}{2} \times 5 \times 3 \times \sin C + \frac{1}{2} \times 12 \times 20 \times \sin A + \frac{1}{2} \times 16 \times 20 \times \sin B)$

三角形ABCの面積は $\frac{1}{2} \times 12 \times 16 = 96$

三角形PBQの面積は $\frac{1}{2} \times 5 \times 3 = \frac{15}{2} = 7.5$ (C=90度)

三角形APQの面積=三角形ABC-三角形PBQ-三角形ABP-三角形ACQ

$=\frac{1}{2}\times 12\times16 -\frac{1}{2}\times (AB-BP)\times 12-\frac{1}{2}\times 16\times (AC-CQ)$

$=96-1/2\times (16-5)\times 12 -1/2\times 16\times (12-3)$

$=96 -66-72=-42$ ???

三角形APQ = $AB*AC * (1/2 * x)^2$

$\sin(a) = BC/AB=16/20=4/5$

Area = $.5*AP*AQ*\sin a = .5 * 5x * 3x * (4/5) = 6x^2$

3. 解答

(1) $y=24$

(2) 回答不能

(3) $y=6x^2$

(4) $40=6x^2$, $x^2=\frac{40}{6}=\frac{20}{3}$, $x=\sqrt{\frac{20}{3}}=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{15}}{3}$