三角形ABCにおいて、$AB=3$, $AC=6$, $\angle BAC = 120^\circ$とする。三角形ABCの外接円をOとし、$\angle BAC$の二等分線と辺BCの交点をPとする。 (1) 辺BCの長さ、三角形ABCの面積、円Oの半径を求める。 (2) APの長さ、BPの長さを求める。 (3) 直線APと円Oの交点のうち、Aでない方をQとする。三角形BQCの面積を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=3$, $AC=6$, $\angle BAC = 120^\circ$とする。三角形ABCの外接円をOとし、$\angle BAC$の二等分線と辺BCの交点をPとする。

(1) 辺BCの長さ、三角形ABCの面積、円Oの半径を求める。

(2) APの長さ、BPの長さを求める。

(3) 直線APと円Oの交点のうち、Aでない方をQとする。三角形BQCの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、余弦定理を用いて辺BCの長さを求める。

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle BAC$

$BC^2 = 3^2 + 6^2 - 2 \cdot 3 \cdot 6 \cdot \cos 120^\circ$

$BC^2 = 9 + 36 - 36 \cdot (-\frac{1}{2})$

$BC^2 = 45 + 18 = 63$

$BC = \sqrt{63} = 3\sqrt{7}$

次に、三角形ABCの面積を求める。

$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin \angle BAC$

$S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6 \cdot \sin 120^\circ$

$S = 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{2}$

次に、正弦定理を用いて円Oの半径Rを求める。

$\frac{BC}{\sin \angle BAC} = 2R$

$\frac{3\sqrt{7}}{\sin 120^\circ} = 2R$

$\frac{3\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R$

$\frac{6\sqrt{7}}{\sqrt{3}} = 2R$

$R = \frac{3\sqrt{7}}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{21}}{3} = \sqrt{7}$

(2)

角の二等分線の定理より、

$BP:PC = AB:AC = 3:6 = 1:2$

$BP = \frac{1}{3} BC = \frac{1}{3} (3\sqrt{7}) = \sqrt{7}$

次に、APの長さを求める。

三角形ABPについて余弦定理を用いる。

$AB^2 = AP^2 + BP^2 - 2 \cdot AP \cdot BP \cdot \cos \angle APB$

このままでは計算できないので、他の方法を考える。

$AP$の延長線と外接円の交点を$Q$とする。

$\angle BAP = \angle CAQ = 60^\circ$

$\angle QCB = \angle QAB = 60^\circ$

$AP \cdot PQ = BP \cdot PC$ が成立する。

三角形ABCの面積 = 三角形ABPの面積 + 三角形ACPの面積

$\frac{9\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot AP \cdot \sin 60^\circ + \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot AP \cdot \sin 60^\circ$

$\frac{9\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \cdot AP \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} (3+6)$

$\frac{9\sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{4} AP$

$AP = 2$

(3)

$BP = \sqrt{7}$

$PC = 2\sqrt{7}$

$AP = 2$

$PQ = AQ - AP = 2R\cos(60)-AP = \sqrt{7}$

三角形$BQC$の面積を求める.

$\angle BAC = 120^{\circ}$より，円周角の定理から$\angle BQC = 60^{\circ}$．

$BC=3\sqrt{7}$

よって，$S_{BQC}=\frac{1}{2}BQ\cdot CQ \cdot \sin{\angle BQC}$

三角形BQCは$\angle BQC = 60^\circ$で、$BC=3\sqrt{7}$。

正弦定理より、$\frac{BC}{\sin{60}} = 2\sqrt{7}$, $Q$は$Q'$と異なるとき$\angle Q$は$180-60$になり、$AP \times PQ =BP \times PC \Longleftrightarrow 2* x=\sqrt{7} *2\sqrt{7}=14$ よって、$PQ = 7$。$AQ = 9$.

$\angle Q = 60$ degree

3. 最終的な答え

13: $3\sqrt{7}$

14: $\frac{9\sqrt{3}}{2}$

15: $\sqrt{7}$

16: 2

17: $\sqrt{7}$

18: $3\sqrt{3}/2$