2点 $A(4,0)$と$B(1,0)$がある。点$P(x,y)$が、$AP = 2BP$を満たしながら動くとき、点Pの軌跡の方程式を求める。

はい、承知いたしました。画像に写っている3つの問題のうち、以下の問題を解きます。

5. 2点A(4,0), B(1,0)に対して、距離APが距離BPの2倍である点Pの軌跡を求めなさい。

1. 問題の内容

2点 $A(4,0)$と$B(1,0)$がある。点$P(x,y)$が、$AP = 2BP$を満たしながら動くとき、点Pの軌跡の方程式を求める。

2. 解き方の手順

$P(x,y)$とする。

$AP = \sqrt{(x-4)^2 + (y-0)^2} = \sqrt{(x-4)^2 + y^2}$

$BP = \sqrt{(x-1)^2 + (y-0)^2} = \sqrt{(x-1)^2 + y^2}$

$AP = 2BP$ より、

$\sqrt{(x-4)^2 + y^2} = 2\sqrt{(x-1)^2 + y^2}$

両辺を2乗すると、

$(x-4)^2 + y^2 = 4((x-1)^2 + y^2)$

$x^2 - 8x + 16 + y^2 = 4(x^2 - 2x + 1 + y^2)$

$x^2 - 8x + 16 + y^2 = 4x^2 - 8x + 4 + 4y^2$

$0 = 3x^2 + 3y^2 - 12$

$3x^2 + 3y^2 = 12$

$x^2 + y^2 = 4$

これは、中心が原点(0,0)、半径が2の円を表す。

3. 最終的な答え

点Pの軌跡は、円 $x^2 + y^2 = 4$ である。