平行四辺形ABCDにおいて、辺BC上にAB=AEとなる点Eをとる。このとき、三角形ABCと三角形EADが合同であることを証明する。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、辺BC上にAB=AEとなる点Eをとる。このとき、三角形ABCと三角形EADが合同であることを証明する。

2. 解き方の手順

(1) 平行四辺形ABCDより、

$AB = CD$

$BC = AD$

$\angle ABC = \angle ADC$

(2) $AB=AE$より、$\triangle ABE$は二等辺三角形であるから、

$\angle ABE = \angle AEB$

(3) 平行四辺形の性質より、$AD // BC$であるから、$\angle DAE = \angle AEB$ （錯角）

よって、$\angle ABE = \angle DAE$

(4) (1)より、$AB = CD$、(3)より、$\angle ABC = \angle DAE$

また、$\angle ABC = \angle ADC$なので、$\angle DAE = \angle ADC$となる。

よって$\triangle ADE$は二等辺三角形であり、$AE = DE$

(5) (1)より、$BC = AD$。また、$AB=AE$なので、$AB=DE$

$\triangle ABC$と$\triangle EAD$において、

$AB = AE$ (仮定)

$BC = AD$ (平行四辺形の対辺)

$AE = DE$ (証明済)

(6) 三組の辺がそれぞれ等しいから、$\triangle ABC \equiv \triangle EAD$

3. 最終的な答え

$\triangle ABC \equiv \triangle EAD$