三角錐OABCにおいて、$\overrightarrow{OF} = \frac{1}{4}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{4}\overrightarrow{OB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OC}$ を満たす点Fを考える。また、辺OBの中点をM、辺OCを3:1に内分する点をNとし、直線OFと平面AMNの交点をPとする。以下の問いに答えよ。 (1) $\overrightarrow{OF} = \frac{1}{\boxed{ア}}(\overrightarrow{OA} + \boxed{イ}\frac{\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}}{3})$であるから、点Fは、辺BCを$\boxed{ウ}:1$に内分する点をDとしたとき、線分ADを$\boxed{エ}:1$に内分する位置にある。 (2)点Pは線分OF上にあるから、$\overrightarrow{OP} = k\overrightarrow{OF}$ ($0 < k < 1$)と表される。また、点Pは平面AMN上にあるから、$\overrightarrow{OP} = l\overrightarrow{OA} + m\overrightarrow{AM} + n\overrightarrow{AN}$と表される。 したがって、$\overrightarrow{OP} = \frac{\boxed{オ}}{\boxed{カキ}}\overrightarrow{OA} + \frac{\boxed{ク}}{\boxed{ケコ}}\overrightarrow{OB} + \frac{\boxed{サ}}{\boxed{シス}}\overrightarrow{OC}$ である。

1. 問題の内容

三角錐OABCにおいて、$\overrightarrow{OF} = \frac{1}{4}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{4}\overrightarrow{OB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OC}$ を満たす点Fを考える。また、辺OBの中点をM、辺OCを3:1に内分する点をNとし、直線OFと平面AMNの交点をPとする。以下の問いに答えよ。

(1) $\overrightarrow{OF} = \frac{1}{\boxed{ア}}(\overrightarrow{OA} + \boxed{イ}\frac{\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}}{3})$であるから、点Fは、辺BCを$\boxed{ウ}:1$に内分する点をDとしたとき、線分ADを$\boxed{エ}:1$に内分する位置にある。

(2)点Pは線分OF上にあるから、$\overrightarrow{OP} = k\overrightarrow{OF}$ ($0 < k < 1$)と表される。また、点Pは平面AMN上にあるから、$\overrightarrow{OP} = l\overrightarrow{OA} + m\overrightarrow{AM} + n\overrightarrow{AN}$と表される。

したがって、$\overrightarrow{OP} = \frac{\boxed{オ}}{\boxed{カキ}}\overrightarrow{OA} + \frac{\boxed{ク}}{\boxed{ケコ}}\overrightarrow{OB} + \frac{\boxed{サ}}{\boxed{シス}}\overrightarrow{OC}$ である。

2. 解き方の手順

(1)

$\overrightarrow{OF} = \frac{1}{4}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{4}\overrightarrow{OB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OC} = \frac{1}{4} \overrightarrow{OA} + \frac{3}{4}(\frac{1}{3}\overrightarrow{OB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OC})$

ここで、点Dは辺BCを2:1に内分する点なので、$\overrightarrow{OD} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OC}$。

したがって、$\overrightarrow{OF} = \frac{1}{4} \overrightarrow{OA} + \frac{3}{4}\overrightarrow{OD} = \frac{1}{4}(\overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OD})$.

つまり、$\overrightarrow{OF} = \frac{1}{4} (\overrightarrow{OA} + 3 \cdot \frac{\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}}{3})$.

よって、ア=4、イ=3、ウ=2。

さらに、点Fは線分ADを3:1に内分する点なので、エ=3。

(2)

$\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OA} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$

$\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{ON} - \overrightarrow{OA} = \frac{3}{4}\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA}$

$\overrightarrow{OP} = l\overrightarrow{OA} + m\overrightarrow{AM} + n\overrightarrow{AN} = l\overrightarrow{OA} + m(\frac{1}{2}\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}) + n(\frac{3}{4}\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA}) = (l-m-n)\overrightarrow{OA} + \frac{m}{2}\overrightarrow{OB} + \frac{3n}{4}\overrightarrow{OC}$

ここで、$\overrightarrow{OP} = k\overrightarrow{OF} = k(\frac{1}{4}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{4}\overrightarrow{OB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OC}) = \frac{k}{4}\overrightarrow{OA} + \frac{k}{4}\overrightarrow{OB} + \frac{k}{2}\overrightarrow{OC}$。

したがって、$\overrightarrow{OP} = \frac{k}{4}\overrightarrow{OA} + \frac{k}{4}\overrightarrow{OB} + \frac{k}{2}\overrightarrow{OC} = (l-m-n)\overrightarrow{OA} + \frac{m}{2}\overrightarrow{OB} + \frac{3n}{4}\overrightarrow{OC}$。

係数を比較すると、

$\frac{k}{4} = l-m-n$

$\frac{k}{4} = \frac{m}{2}$

$\frac{k}{2} = \frac{3n}{4}$

$l+m+n = 1$ (平面AMN上の点である条件)

これらを解く。

$m = \frac{k}{2}$, $n = \frac{2k}{3}$, $\frac{k}{4} = l - \frac{k}{2} - \frac{2k}{3}$ より $l = \frac{k}{4} + \frac{k}{2} + \frac{2k}{3} = \frac{3k + 6k + 8k}{12} = \frac{17k}{12}$

$l+m+n = \frac{17k}{12} + \frac{k}{2} + \frac{2k}{3} = \frac{17k + 6k + 8k}{12} = \frac{31k}{12} = 1$

よって、$k = \frac{12}{31}$

したがって、$\overrightarrow{OP} = \frac{12}{31}(\frac{1}{4}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{4}\overrightarrow{OB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OC}) = \frac{3}{31}\overrightarrow{OA} + \frac{3}{31}\overrightarrow{OB} + \frac{6}{31}\overrightarrow{OC}$.

3. 最終的な答え

ア=4

イ=3

ウ=2

エ=3

オ=3

カキ=31

ク=3

ケコ=31

サ=6

シス=31