円周上に点A, B, C, D, E, F があり、AB // FC, BE // CD である。弧AB, 弧BC, 弧CD の長さがそれぞれ $6\pi$, $4\pi$, $12\pi$ であり、$\angle EPF = 63^\circ$ である。 (1) 弧EF の長さを求めよ。 (2) 円の半径を求めよ。 (3) $\angle CDA$ の大きさを求めよ。

1. 問題の内容

円周上に点A, B, C, D, E, F があり、AB // FC, BE // CD である。弧AB, 弧BC, 弧CD の長さがそれぞれ $6\pi$, $4\pi$, $12\pi$ であり、$\angle EPF = 63^\circ$ である。

(1) 弧EF の長さを求めよ。

(2) 円の半径を求めよ。

(3) $\angle CDA$ の大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 弧EF の長さを求める。

AB // FC より、$\angle EPF = \angle BAE = 63^\circ$ (同位角)。

$\angle BAE$ は弧BEに対する円周角であり、$\angle EPF$ は弧EFに対する円周角である。したがって、弧EFと弧ABの和は、弧BEの2倍に等しい。

$\angle EPF = 63^\circ$ より、弧EFに対する中心角は $2 \times 63^\circ = 126^\circ$ である。

弧 ABの長さが $6\pi$ なので、弧 AB に対する中心角は $126^\circ$となる。

BE // CD より、$\angle EBC = \angle BCD$ が成り立つ。

ここで、$\angle BAE$は弧BEに対する円周角で、$\angle BCD$は弧BDに対する円周角である。

弧 EF + 弧 AB = 弧BE (円周角の関係から)

$\angle EPF = 63^\circ$より、弧EFに対する中心角は $2 \times 63^\circ = 126^\circ$ である。

弧EFの長さを $x$ とすると、

$\frac{x}{2 \pi r} = \frac{126^\circ}{360^\circ}$

ここで $r$ は円の半径である。

また弧ABの長さが $6\pi$ より、弧ABに対する中心角は $126^\circ$。

$\frac{6\pi}{2 \pi r} = \frac{108^\circ}{360^\circ}$

弧BEの長さ = 弧EF + 弧AF

弧CDの長さ = 弧BE + 弧BC

$\angle EPF = 63^{\circ}$より, 弧EFの長さをxとおくと、中心角は126度になる。

$x + 6\pi = \text{弧AF} + \text{弧EF} = \text{弧AE}$

平行線AB // FCより弧AC = 弧BFなので,

弧AB + 弧BC = 弧CF + 弧BF

$6\pi + 4\pi = \text{弧EF} + \text{弧DE}$

$10\pi = \text{弧EF} + \text{弧DE}$

平行線BE // CDより弧BC = 弧DEなので、

弧DE = $4\pi$

よって、

$10\pi = \text{弧EF} + 4\pi$

弧EF = $6\pi$

(2) 円の半径を求める。

円周の長さは $6\pi + 4\pi + 12\pi + 6\pi + 4\pi + 12\pi = 44\pi$ である。

円周の長さは $2\pi r$ で表されるので、$2\pi r = 44\pi$ より、$r = 22$ である。

(3) $\angle CDA$ の大きさを求める。

$\angle CDA$ は弧ACに対する円周角である。弧ACの長さは $6\pi + 4\pi = 10\pi$ である。

$\frac{10\pi}{2\pi r} = \frac{\angle AOC}{360^\circ}$ より、$\frac{10\pi}{44\pi} = \frac{\angle AOC}{360^\circ}$

$\angle AOC = \frac{10}{44} \times 360^\circ = \frac{5}{22} \times 360^\circ = \frac{1800}{22}^\circ = \frac{900}{11}^\circ$

$\angle CDA = \frac{1}{2} \times \frac{900}{11}^\circ = \frac{450}{11}^\circ \approx 40.9^\circ$

$\angle CDA$ は弧ACに対する円周角なので、$AC = 6\pi + 4\pi = 10\pi$

半径は22なので、円周は $44\pi$。$\angle CDA$ は $AC/44\pi \cdot 180 = 40.9^\circ$。

3. 最終的な答え

(1) 弧EFの長さ: $6\pi$

(2) 円の半径: $22$

(3) $\angle CDA$ の大きさ: $\frac{450}{11}^\circ$