放物線 $L: y = -x^2$ と $M: y = x^2 + ax + b$ が2点A, Bで交わっている。点AにおけるL, Mの接線をそれぞれ $l_A, m_A$ とし、点BにおけるL, Mの接線をそれぞれ $l_B, m_B$ とするとき、4直線 $l_A, m_A, l_B, m_B$ で囲まれる部分が平行四辺形となることを示す。

1. 問題の内容

放物線 $L: y = -x^2$ と $M: y = x^2 + ax + b$ が2点A, Bで交わっている。点AにおけるL, Mの接線をそれぞれ $l_A, m_A$ とし、点BにおけるL, Mの接線をそれぞれ $l_B, m_B$ とするとき、4直線 $l_A, m_A, l_B, m_B$ で囲まれる部分が平行四辺形となることを示す。

2. 解き方の手順

まず、2つの放物線LとMの交点A, Bのx座標を求めます。

$-x^2 = x^2 + ax + b$

$2x^2 + ax + b = 0$

この二次方程式の解を $x_A, x_B$ とします。ただし、$x_A \neq x_B$ であるとします。

解と係数の関係から、

$x_A + x_B = -\frac{a}{2}$

$x_A x_B = \frac{b}{2}$

次に、それぞれの放物線の接線を求めます。

放物線L: $y = -x^2$ の導関数は $y' = -2x$

放物線M: $y = x^2 + ax + b$ の導関数は $y' = 2x + a$

点AにおけるLの接線 $l_A$ の傾きは $-2x_A$ であり、接線の方程式は

$y - (-x_A^2) = -2x_A(x - x_A)$

$y = -2x_A x + x_A^2$

点AにおけるMの接線 $m_A$ の傾きは $2x_A + a$ であり、接線の方程式は

$y - (x_A^2 + ax_A + b) = (2x_A + a)(x - x_A)$

$y = (2x_A + a)x - x_A^2 + b$

点BにおけるLの接線 $l_B$ の傾きは $-2x_B$ であり、接線の方程式は

$y - (-x_B^2) = -2x_B(x - x_B)$

$y = -2x_B x + x_B^2$

点BにおけるMの接線 $m_B$ の傾きは $2x_B + a$ であり、接線の方程式は

$y - (x_B^2 + ax_B + b) = (2x_B + a)(x - x_B)$

$y = (2x_B + a)x - x_B^2 + b$

平行四辺形であることを示すためには、$l_A$ と $l_B$ が平行であり、$m_A$ と $m_B$ が平行であることを示せばよいです。

$l_A$ と $l_B$ の傾きはそれぞれ $-2x_A$ と $-2x_B$ です。$x_A \neq x_B$ なので、$-2x_A \neq -2x_B$ ですから、$l_A$ と $l_B$ は平行ではありません。

しかし、$l_A$ と $m_B$、 $m_A$ と $l_B$ がそれぞれ平行であれば、平行四辺形となります。

$l_A$ の傾きは $-2x_A$ であり、$m_B$ の傾きは $2x_B + a$ です。

$l_A // m_B$ ならば $-2x_A = 2x_B + a$ 、すなわち $2(x_A + x_B) + a = 0$

$x_A + x_B = -\frac{a}{2}$ なので $2(-\frac{a}{2}) + a = -a + a = 0$ となり、$l_A // m_B$ です。

$m_A$ の傾きは $2x_A + a$ であり、$l_B$ の傾きは $-2x_B$ です。

$m_A // l_B$ ならば $2x_A + a = -2x_B$ 、すなわち $2(x_A + x_B) + a = 0$

$x_A + x_B = -\frac{a}{2}$ なので $2(-\frac{a}{2}) + a = -a + a = 0$ となり、$m_A // l_B$ です。

したがって、4直線 $l_A, m_A, l_B, m_B$ で囲まれる部分は平行四辺形です。

3. 最終的な答え

4直線 $l_A, m_A, l_B, m_B$ で囲まれる部分は平行四辺形である。