円の中に四角形と直線が描かれており、$AB//FC$, $BE//CD$, $\angle EPF = 63^\circ$である。弧$AB$, $BC$, $CD$の長さがそれぞれ$6\pi$, $4\pi$, $12\pi$であるとき、 (1) 弧$EF$の長さを求めよ。 (2) 円の半径を求めよ。 (3) $\angle CDA$の大きさを求めよ。

1. 問題の内容

円の中に四角形と直線が描かれており、$AB//FC$, $BE//CD$, $\angle EPF = 63^\circ$である。弧$AB$, $BC$, $CD$の長さがそれぞれ$6\pi$, $4\pi$, $12\pi$であるとき、

(1) 弧$EF$の長さを求めよ。

(2) 円の半径を求めよ。

(3) $\angle CDA$の大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 弧の長さと中心角の関係を利用して問題を解く。

$AB//FC$より、$\angle BAC = \angle ACF$ (錯角)

$BE//CD$より、$\angle CBE = \angle BCD$ (錯角)

円周角の定理より、

$\angle BAC = \frac{1}{2} \angle BOC$

$\angle ACF = \frac{1}{2} \angle AOF$

$\angle CBE = \frac{1}{2} \angle COE$

$\angle BCD = \frac{1}{2} \angle BOD$

弧の長さに比例して中心角が決まるので、

$\angle AOB = \frac{AB}{2\pi r} \times 360 = \frac{6\pi}{2\pi r} \times 360 = \frac{3}{r} \times 360 = \frac{1080}{r}$

$\angle BOC = \frac{BC}{2\pi r} \times 360 = \frac{4\pi}{2\pi r} \times 360 = \frac{2}{r} \times 360 = \frac{720}{r}$

$\angle COD = \frac{CD}{2\pi r} \times 360 = \frac{12\pi}{2\pi r} \times 360 = \frac{6}{r} \times 360 = \frac{2160}{r}$

$\angle EPF = 63^\circ$である。

$\angle BAC + \angle BCD = \angle EPF$ (錯角)

$\angle BAC = \angle ACF = \frac{AB}{2\pi r} \times 180 = \frac{6\pi}{2\pi r} \times 180 = \frac{3}{r} \times 180 = \frac{540}{r}$

$\angle CBE = \angle BCD = \frac{CD}{2\pi r} \times 180 = \frac{12\pi}{2\pi r} \times 180 = \frac{6}{r} \times 180 = \frac{1080}{r}$

$\angle AEF = \angle ACB$, $\angle AFE = \angle ABC$

$\angle CDA = \angle CBE = \frac{1080}{r}$

$\angle ABE + \angle EAB = 180^\circ$

$\angle AFE = 180^\circ - \angle AEF - \angle FAE = 180^\circ - \frac{AB}{2\pi r} \times 180 - \angle BCD = 180 - \frac{3}{r} \times 180 - \frac{6}{r} \times 180 = 180^\circ - \frac{540}{r} - \frac{1080}{r} = 180^\circ - \frac{1620}{r}$

$\angle AEF = \angle BAC$

$\angle EPF = \frac{AB}{2\pi r} \times 180 + \frac{CD}{2\pi r} \times 180 = 63 = \frac{540+1080}{r} = \frac{1620}{r}$

よって$r = \frac{1620}{63} = \frac{180}{7} = 25.7$

$\angle AOB = \frac{1080}{180/7} = 42^\circ$

$\angle BOC = \frac{720}{180/7} = 28^\circ$

$\angle COD = \frac{2160}{180/7} = 84^\circ$

$\angle EPF = \frac{540}{180/7} + \frac{1080}{180/7} = 21 + 42 = 63^\circ$

$\angle EPD = \angle BAC + \angle BCD + \angle EPF$

円周角 $\angle EPF = 63^\circ = \frac{EF+BC}{2\pi r} \times 180^\circ$

$63^\circ = \frac{EF+4\pi}{2\pi \times \frac{180}{7}} \times 180 = \frac{EF+4\pi}{2\pi \times 180} \times 180 \times 7 = (EF+4\pi) \times \frac{7}{2\pi}$

$126\pi = (EF + 4\pi) \times 7$

$18\pi = EF + 4\pi$

$EF = 14\pi$

(2) $r = \frac{180}{7}\pi$

(3) $\angle CDA = \angle CBE = \frac{6\pi}{2\pi \times \frac{180}{7}} \times 180 = \frac{1080}{180/7} = 42$

3. 最終的な答え

(1) $14\pi$

(2) $r = \frac{180}{7}$

(3) $\angle CDA = 42^\circ$