2つの直線 $l_1$ と $l_2$ が与えられたとき、これらの直線がなす角を求めます。問題は2つあります。 (1) $l_1: \frac{x-1}{\sqrt{5}} = \frac{y+3}{1} = \frac{z+2}{2}$ $l_2: \frac{x+1}{\sqrt{5}} = \frac{y}{-2} = \frac{z-2}{1}$ (2) $l_1: x = 1+2t, y = -3+4t, z=t$ $l_2: x = -5+3t, y = 1-t, z = -2t$

1. 問題の内容

2つの直線 $l_1$ と $l_2$ が与えられたとき、これらの直線がなす角を求めます。問題は2つあります。

(1)

$l_1: \frac{x-1}{\sqrt{5}} = \frac{y+3}{1} = \frac{z+2}{2}$

$l_2: \frac{x+1}{\sqrt{5}} = \frac{y}{-2} = \frac{z-2}{1}$

(2)

$l_1: x = 1+2t, y = -3+4t, z=t$

$l_2: x = -5+3t, y = 1-t, z = -2t$

2. 解き方の手順

2直線の方向ベクトルを求め、内積を使ってなす角を求めます。

2つのベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を $\theta$ とすると、

$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$

で求められます。

(1)

$l_1$ の方向ベクトルは $\vec{a} = (\sqrt{5}, 1, 2)$

$l_2$ の方向ベクトルは $\vec{b} = (\sqrt{5}, -2, 1)$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (\sqrt{5})(\sqrt{5}) + (1)(-2) + (2)(1) = 5 - 2 + 2 = 5$

$|\vec{a}| = \sqrt{(\sqrt{5})^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{5 + 1 + 4} = \sqrt{10}$

$|\vec{b}| = \sqrt{(\sqrt{5})^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{5 + 4 + 1} = \sqrt{10}$

$\cos \theta = \frac{5}{\sqrt{10} \sqrt{10}} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

$\theta = \frac{\pi}{3}$ (または $60^{\circ}$)

(2)

$l_1$ の方向ベクトルは $\vec{a} = (2, 4, 1)$

$l_2$ の方向ベクトルは $\vec{b} = (3, -1, -2)$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(3) + (4)(-1) + (1)(-2) = 6 - 4 - 2 = 0$

$\cos \theta = \frac{0}{|\vec{a}||\vec{b}|} = 0$

$\theta = \frac{\pi}{2}$ (または $90^{\circ}$)

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\pi}{3}$ (または $60^{\circ}$)

(2) $\frac{\pi}{2}$ (または $90^{\circ}$)