円に内接する四角形において、平行な線分が与えられている。弧AB = $6\pi$, 弧BC = $4\pi$, 弧CD = $12\pi$, 角EPF = $63^\circ$である。 (1) 弧EFの長さを求めよ。 (2) 円の半径を求めよ。 (3) 角CDAの大きさを求めよ。

1. 問題の内容

円に内接する四角形において、平行な線分が与えられている。弧AB = $6\pi$, 弧BC = $4\pi$, 弧CD = $12\pi$, 角EPF = $63^\circ$である。

(1) 弧EFの長さを求めよ。

(2) 円の半径を求めよ。

(3) 角CDAの大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 弧EFの長さを求める。

AB // FCより、弧AC = 弧BF。

弧AC = 弧AB + 弧BC = $6\pi + 4\pi = 10\pi$

したがって、弧BF = $10\pi$

BE // CDより、弧BC = 弧DE = $4\pi$

角EPF = $63^\circ$は円周角なので、弧EFの中心角は$2 \times 63^\circ = 126^\circ$となる。

弧EF = xとおくと、

$\angle EPF = \frac{1}{2} (\text{弧AD} - \text{弧EF}) = 63^\circ$

$\text{弧AD} = \text{弧AB} + \text{弧BC} + \text{弧CD} = 6\pi + 4\pi + 12\pi = 22\pi$

$63 = \frac{1}{2} (\frac{360}{2 \pi r} 22\pi - \frac{360}{2 \pi r} x)$

$\frac{1}{2} (\text{弧AD} - \text{弧EF}) = 63^{\circ}$より$\text{弧AD} - \text{弧EF} = 2\times 63^{\circ} = 126^{\circ}$に対応する弧となる。

円周全体の長さは、$\text{弧AB} + \text{弧BC} + \text{弧CD} + \text{弧DE} + \text{弧EF} + \text{弧FA} = 6\pi + 4\pi + 12\pi + 4\pi + \text{弧EF} + \text{弧FA} = 26\pi + \text{弧EF} + \text{弧FA}$

AB // FCより、弧AC = 弧BF = 弧AB + 弧BC = $10\pi$.

BE // CDより、弧BC = 弧DE = $4\pi$.

$\angle EPF = 63^{\circ} = \frac{1}{2}(\text{弧AD} - \text{弧EF})$

$\text{弧AD} = \text{弧AB} + \text{弧BC} + \text{弧CD} = 6\pi + 4\pi + 12\pi = 22\pi$

$\text{弧AD} - \text{弧EF} = 2 \times 63^{\circ}$の中心角に対応する弧

$\text{弧EF} = \text{弧AD} - 2\angle EPF \times \frac{\text{円周}}{360^{\circ}} = \text{弧AD} - \frac{126^{\circ}}{360^{\circ}} \times \text{円周}$

円周は、AB + BC + CD + DE + EF + FA = $6\pi + 4\pi + 12\pi + 4\pi$ + 弧EF + 弧FA = 26\pi + 弧EF + 弧FA

$\angle EPF = \frac{1}{2} (弧AD - 弧EF)$

$63 = \frac{1}{2} (\frac{180}{\pi r} \times 22 \pi - \frac{180}{\pi r} \times x)$

弧AD = 22π。弧AF = yとする。

360 = 円周 = AB + BC + CD + DE + EF + FA = $6\pi + 4\pi + 12\pi + 4\pi + EF + FA$ = $26\pi + x + y$

弧AE = 弧AB - 弧BE = 弧AB - 弧CD = $6\pi - 4\pi = 2\pi$

弧 EF = 2π

(2) 円の半径を求める。

円周 = $6\pi + 4\pi + 12\pi + 4\pi + 2\pi + FA = 28\pi + FA = 2 \pi r$

$2\pi r = 6\pi + 4\pi + 12\pi + 4\pi + EF + FA = 26\pi + 2\pi + FA = 28\pi + FA$

$r = 10.5$

(3) 角CDAの大きさを求める。

$\angle CDA = \frac{1}{2} (\text{弧AC} + \text{弧AE}) = \frac{1}{2} (10\pi + 2\pi) = \frac{1}{2} \frac{12\pi}{2\pi r} \times 360 = \frac{6\pi}{21 \pi} 360 = \frac{6}{21} 360 = \frac{2}{7} 360 = 102.85$

3. 最終的な答え

(1) 弧EFの長さ: $2\pi$

(2) 円の半径: $10.5$

(3) 角CDAの大きさ: $102.85^\circ$