与えられた条件を満たす直線の方程式を求める問題です。 (1) 点 $A(3,2,1)$ を通り、方向ベクトル $\vec{v} = (4,5,-1)$ である直線を求めます。 (2) 2点 $A(1,4,-1)$ と $B(3,6,4)$ を通る直線を求めます。 (3) 点 $A(1,0,-1)$ を通り、直線 $\frac{x-3}{5} = \frac{y-2}{2} = \frac{z+4}{-2}$ に平行な直線を求めます。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす直線の方程式を求める問題です。

(1) 点 $A(3,2,1)$ を通り、方向ベクトル $\vec{v} = (4,5,-1)$ である直線を求めます。

(2) 2点 $A(1,4,-1)$ と $B(3,6,4)$ を通る直線を求めます。

(3) 点 $A(1,0,-1)$ を通り、直線 $\frac{x-3}{5} = \frac{y-2}{2} = \frac{z+4}{-2}$ に平行な直線を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 点 $A(x_0, y_0, z_0)$ を通り、方向ベクトル $\vec{v} = (a,b,c)$ である直線の方程式は、

$\frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b} = \frac{z-z_0}{c}$

で与えられます。

したがって、点 $A(3,2,1)$ を通り、方向ベクトル $\vec{v} = (4,5,-1)$ である直線の方程式は、

$\frac{x-3}{4} = \frac{y-2}{5} = \frac{z-1}{-1}$

となります。

(2) 2点 $A(x_1, y_1, z_1)$ と $B(x_2, y_2, z_2)$ を通る直線の方程式は、

$\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{z-z_1}{z_2-z_1}$

で与えられます。

したがって、2点 $A(1,4,-1)$ と $B(3,6,4)$ を通る直線の方程式は、

$\frac{x-1}{3-1} = \frac{y-4}{6-4} = \frac{z-(-1)}{4-(-1)}$

$\frac{x-1}{2} = \frac{y-4}{2} = \frac{z+1}{5}$

となります。

(3) 点 $A(x_0, y_0, z_0)$ を通り、直線 $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ に平行な直線の方程式は、

$\frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b} = \frac{z-z_0}{c}$

で与えられます。

したがって、点 $A(1,0,-1)$ を通り、直線 $\frac{x-3}{5} = \frac{y-2}{2} = \frac{z+4}{-2}$ に平行な直線の方程式は、

$\frac{x-1}{5} = \frac{y-0}{2} = \frac{z-(-1)}{-2}$

$\frac{x-1}{5} = \frac{y}{2} = \frac{z+1}{-2}$

となります。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{x-3}{4} = \frac{y-2}{5} = \frac{z-1}{-1}$

(2) $\frac{x-1}{2} = \frac{y-4}{2} = \frac{z+1}{5}$

(3) $\frac{x-1}{5} = \frac{y}{2} = \frac{z+1}{-2}$