2点 A(1, 3, -4) と B(-2, 3, 1) を通る直線の媒介変数表示と直線の方程式を求めます。

## 問1.49 (1)

1. **問題の内容**

2点 A(1, 3, -4) と B(-2, 3, 1) を通る直線の媒介変数表示と直線の方程式を求めます。

2. **解き方の手順**

* **媒介変数表示:**

2点 A と B を通る直線の媒介変数表示は、実数 $t$ を用いて以下のように表されます。

$$$$

\vec{p} = (1-t)\vec{a} + t\vec{b}

$$$$

ここで、$\vec{a}$ は点 A の位置ベクトル、$\vec{b}$ は点 B の位置ベクトル、$\vec{p}$ は直線上の任意の点の位置ベクトルです。

$\vec{a} = (1, 3, -4)$、$\vec{b} = (-2, 3, 1)$ を代入すると、

$$$$

\vec{p} = (1-t)(1, 3, -4) + t(-2, 3, 1)

$$$$

$$$$

\vec{p} = (1-t-2t, 3-3t+3t, -4+4t+t)

$$$$

$$$$

\vec{p} = (1-3t, 3, -4+5t)

$$$$

したがって、直線の媒介変数表示は、

$$$$

\begin{cases}

x = 1-3t \\

y = 3 \\

z = -4+5t

\end{cases}

$$$$

* **直線の方程式:**

直線の方向ベクトル $\vec{d}$ は、

$$$$

\vec{d} = \vec{b} - \vec{a} = (-2-1, 3-3, 1-(-4)) = (-3, 0, 5)

$$$$

直線の方程式は、

$$$$

\frac{x-x_0}{d_x} = \frac{y-y_0}{d_y} = \frac{z-z_0}{d_z}

$$$$

ここで、$(x_0, y_0, z_0)$ は直線上の任意の点（ここでは A(1, 3, -4) を使用）、$(d_x, d_y, d_z)$ は方向ベクトルです。

したがって、

$$$$

\frac{x-1}{-3} = \frac{y-3}{0} = \frac{z+4}{5}

$$$$

これより $y=3$ であり、

$5(x-1) = -3(z+4)$

$5x - 5 = -3z - 12$

$5x + 3z + 7 = 0$

したがって、直線の方程式は、

$$$$

\begin{cases}

y=3 \\

5x+3z+7=0

\end{cases}

$$$$

3. **最終的な答え**

* 媒介変数表示：

$x = 1-3t, y = 3, z = -4+5t$

* 直線の方程式：

$y = 3, 5x+3z+7=0$

## 問1.49 (2)

1. **問題の内容**

2点 C(-3, 2, 5) と D(-3, 0, 3) を通る直線の媒介変数表示と直線の方程式を求めます。

2. **解き方の手順**

* **媒介変数表示:**

2点 C と D を通る直線の媒介変数表示は、実数 $t$ を用いて以下のように表されます。

$$$$

\vec{p} = (1-t)\vec{c} + t\vec{d}

$$$$

ここで、$\vec{c}$ は点 C の位置ベクトル、$\vec{d}$ は点 D の位置ベクトル、$\vec{p}$ は直線上の任意の点の位置ベクトルです。

$\vec{c} = (-3, 2, 5)$、$\vec{d} = (-3, 0, 3)$ を代入すると、

$$$$

\vec{p} = (1-t)(-3, 2, 5) + t(-3, 0, 3)

$$$$

$$$$

\vec{p} = (-3+3t-3t, 2-2t+0t, 5-5t+3t)

$$$$

$$$$

\vec{p} = (-3, 2-2t, 5-2t)

$$$$

したがって、直線の媒介変数表示は、

$$$$

\begin{cases}

x = -3 \\

y = 2-2t \\

z = 5-2t

\end{cases}

$$$$

* **直線の方程式:**

直線の方向ベクトル $\vec{d}$ は、

$$$$

\vec{d} = \vec{d} - \vec{c} = (-3-(-3), 0-2, 3-5) = (0, -2, -2)

$$$$

直線の方程式は、

$$$$

\frac{x-x_0}{d_x} = \frac{y-y_0}{d_y} = \frac{z-z_0}{d_z}

$$$$

ここで、$(x_0, y_0, z_0)$ は直線上の任意の点（ここでは C(-3, 2, 5) を使用）、$(d_x, d_y, d_z)$ は方向ベクトルです。

したがって、

$$$$

\frac{x+3}{0} = \frac{y-2}{-2} = \frac{z-5}{-2}

$$$$

これより $x=-3$ であり、

$-2(y-2) = -2(z-5)$

$y-2=z-5$

$y-z+3 = 0$

したがって、直線の方程式は、

$$$$

\begin{cases}

x=-3 \\

y-z+3=0

\end{cases}

$$$$

3. **最終的な答え**

* 媒介変数表示：

$x = -3, y = 2-2t, z = 5-2t$

* 直線の方程式：

$x = -3, y-z+3=0$

## 問1.50 (1)

1. **問題の内容**

2点 A(-2, 3, -4) と B(-2, 3, 1) を通る直線の媒介変数表示を求めます。

2. **解き方の手順**

* **媒介変数表示:**

2点 A と B を通る直線の媒介変数表示は、実数 $t$ を用いて以下のように表されます。

$$$$

\vec{p} = (1-t)\vec{a} + t\vec{b}

$$$$

ここで、$\vec{a}$ は点 A の位置ベクトル、$\vec{b}$ は点 B の位置ベクトル、$\vec{p}$ は直線上の任意の点の位置ベクトルです。

$\vec{a} = (-2, 3, -4)$、$\vec{b} = (-2, 3, 1)$ を代入すると、

$$$$

\vec{p} = (1-t)(-2, 3, -4) + t(-2, 3, 1)

$$$$

$$$$

\vec{p} = (-2+2t-2t, 3-3t+3t, -4+4t+t)

$$$$

$$$$

\vec{p} = (-2, 3, -4+5t)

$$$$

したがって、直線の媒介変数表示は、

$$$$

\begin{cases}

x = -2 \\

y = 3 \\

z = -4+5t

\end{cases}

$$$$

3. **最終的な答え**

* 媒介変数表示：

$x = -2, y = 3, z = -4+5t$

## 問1.50 (2)

1. **問題の内容**

2点 C(-3, 2, 3) と D(-3, 0, 3) を通る直線の媒介変数表示を求めます。

2. **解き方の手順**

* **媒介変数表示:**

2点 C と D を通る直線の媒介変数表示は、実数 $t$ を用いて以下のように表されます。

$$$$

\vec{p} = (1-t)\vec{c} + t\vec{d}

$$$$

ここで、$\vec{c}$ は点 C の位置ベクトル、$\vec{d}$ は点 D の位置ベクトル、$\vec{p}$ は直線上の任意の点の位置ベクトルです。

$\vec{c} = (-3, 2, 3)$、$\vec{d} = (-3, 0, 3)$ を代入すると、

$$$$

\vec{p} = (1-t)(-3, 2, 3) + t(-3, 0, 3)

$$$$

$$$$

\vec{p} = (-3+3t-3t, 2-2t, 3-3t+3t)

$$$$

$$$$

\vec{p} = (-3, 2-2t, 3)

$$$$

したがって、直線の媒介変数表示は、

$$$$

\begin{cases}

x = -3 \\

y = 2-2t \\

z = 3

\end{cases}

$$$$

3. **最終的な答え**

* 媒介変数表示：

$x = -3, y = 2-2t, z = 3$