ベクトル $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$ と $\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$ が作る平行四辺形の面積を$S$ とするとき、次の式を証明せよ。 $S^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = (a_1b_2 - a_2b_1)^2 + (a_1b_3 - a_3b_1)^2 + (a_2b_3 - a_3b_2)^2$

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$ と $\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$ が作る平行四辺形の面積を$S$ とするとき、次の式を証明せよ。

$S^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = (a_1b_2 - a_2b_1)^2 + (a_1b_3 - a_3b_1)^2 + (a_2b_3 - a_3b_2)^2$

2. 解き方の手順

まず、ベクトルの大きさの2乗と内積を計算する。

$|\vec{a}|^2 = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2$

$|\vec{b}|^2 = b_1^2 + b_2^2 + b_3^2$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$

次に、$|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2$ を計算する。

$|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = (a_1^2 + a_2^2 + a_3^2)(b_1^2 + b_2^2 + b_3^2) - (a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3)^2$

$= a_1^2b_1^2 + a_1^2b_2^2 + a_1^2b_3^2 + a_2^2b_1^2 + a_2^2b_2^2 + a_2^2b_3^2 + a_3^2b_1^2 + a_3^2b_2^2 + a_3^2b_3^2 - (a_1^2b_1^2 + a_2^2b_2^2 + a_3^2b_3^2 + 2a_1b_1a_2b_2 + 2a_1b_1a_3b_3 + 2a_2b_2a_3b_3)$

$= a_1^2b_2^2 + a_1^2b_3^2 + a_2^2b_1^2 + a_2^2b_3^2 + a_3^2b_1^2 + a_3^2b_2^2 - 2a_1b_1a_2b_2 - 2a_1b_1a_3b_3 - 2a_2b_2a_3b_3$

一方、右辺を展開する。

$(a_1b_2 - a_2b_1)^2 + (a_1b_3 - a_3b_1)^2 + (a_2b_3 - a_3b_2)^2 = (a_1^2b_2^2 - 2a_1b_2a_2b_1 + a_2^2b_1^2) + (a_1^2b_3^2 - 2a_1b_3a_3b_1 + a_3^2b_1^2) + (a_2^2b_3^2 - 2a_2b_3a_3b_2 + a_3^2b_2^2)$

$= a_1^2b_2^2 + a_2^2b_1^2 + a_1^2b_3^2 + a_3^2b_1^2 + a_2^2b_3^2 + a_3^2b_2^2 - 2a_1a_2b_1b_2 - 2a_1a_3b_1b_3 - 2a_2a_3b_2b_3$

したがって、$S^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = (a_1b_2 - a_2b_1)^2 + (a_1b_3 - a_3b_1)^2 + (a_2b_3 - a_3b_2)^2$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$S^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = (a_1b_2 - a_2b_1)^2 + (a_1b_3 - a_3b_1)^2 + (a_2b_3 - a_3b_2)^2$