$\cos 15^{\circ} + \cos 105^{\circ}$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$\cos 15^{\circ} + \cos 105^{\circ}$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

和積の公式を利用します。和積の公式は次の通りです。

$\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$

ここで、$A = 15^{\circ}$、$B = 105^{\circ}$ とすると、

$\frac{A+B}{2} = \frac{15^{\circ} + 105^{\circ}}{2} = \frac{120^{\circ}}{2} = 60^{\circ}$

$\frac{A-B}{2} = \frac{15^{\circ} - 105^{\circ}}{2} = \frac{-90^{\circ}}{2} = -45^{\circ}$

したがって、

$\cos 15^{\circ} + \cos 105^{\circ} = 2 \cos 60^{\circ} \cos (-45^{\circ})$

$\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$ であり、$\cos(-45^{\circ}) = \cos 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ であるから、

$\cos 15^{\circ} + \cos 105^{\circ} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{2}}{2}$