三角形ABCにおいて、$AB=5$, $BC=3\sqrt{3}$, $\angle B = 30^\circ$のとき、以下の値を求めよ。 (1) ACの長さ (2) $\sin A$ (3) 三角形ABCの外接円の半径R (4) 三角形ABCの面積S

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=5$, $BC=3\sqrt{3}$, $\angle B = 30^\circ$のとき、以下の値を求めよ。

(1) ACの長さ

(2) $\sin A$

(3) 三角形ABCの外接円の半径R

(4) 三角形ABCの面積S

2. 解き方の手順

(1) ACの長さを求める。

余弦定理を用いてACの長さを求める。

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2(AB)(BC)\cos B$

$AC^2 = 5^2 + (3\sqrt{3})^2 - 2(5)(3\sqrt{3})\cos 30^\circ$

$AC^2 = 25 + 27 - 30\sqrt{3}(\frac{\sqrt{3}}{2})$

$AC^2 = 52 - 30(\frac{3}{2})$

$AC^2 = 52 - 45$

$AC^2 = 7$

$AC = \sqrt{7}$

(2) $\sin A$の値を求める。

正弦定理を用いて$\sin A$の値を求める。

$\frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A}$

$\frac{\sqrt{7}}{\sin 30^\circ} = \frac{3\sqrt{3}}{\sin A}$

$\frac{\sqrt{7}}{1/2} = \frac{3\sqrt{3}}{\sin A}$

$2\sqrt{7} = \frac{3\sqrt{3}}{\sin A}$

$\sin A = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$

$\sin A = \frac{3\sqrt{3}\sqrt{7}}{2(7)}$

$\sin A = \frac{3\sqrt{21}}{14}$

(3) 三角形ABCの外接円の半径Rを求める。

正弦定理を用いて外接円の半径Rを求める。

$\frac{AC}{\sin B} = 2R$

$\frac{\sqrt{7}}{\sin 30^\circ} = 2R$

$\frac{\sqrt{7}}{1/2} = 2R$

$2\sqrt{7} = 2R$

$R = \sqrt{7}$

(4) 三角形ABCの面積Sを求める。

面積の公式を用いて面積Sを求める。

$S = \frac{1}{2}(AB)(BC)\sin B$

$S = \frac{1}{2}(5)(3\sqrt{3})\sin 30^\circ$

$S = \frac{1}{2}(5)(3\sqrt{3})(\frac{1}{2})$

$S = \frac{15\sqrt{3}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $AC = \sqrt{7}$

(2) $\sin A = \frac{3\sqrt{21}}{14}$

(3) $R = \sqrt{7}$

(4) $S = \frac{15\sqrt{3}}{4}$