右図の三角形ABCにおいて、$\sin \alpha$, $\cos \alpha$, $\tan \alpha$, 線分AD, 線分CDの値を求める問題です。

1. 問題の内容

右図の三角形ABCにおいて、$\sin \alpha$, $\cos \alpha$, $\tan \alpha$, 線分AD, 線分CDの値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $\sin \alpha$, $\cos \alpha$, $\tan \alpha$ を求める。

$\triangle ABD$において、$\sin \alpha = \frac{AD}{AB}$, $\cos \alpha = \frac{BD}{AB}$, $\tan \alpha = \frac{AD}{BD}$ となります。

$\triangle ADC$において、$\angle ACD = 60^\circ$です。よって、$\tan 60^\circ = \frac{AD}{CD}$。また、$\sin 60^\circ = \frac{AD}{AC}$, $\cos 60^\circ = \frac{CD}{AC}$

$\triangle ABC$は直角三角形なので、$AC = AB \sin \alpha$

まず、$\triangle ADC$について考えます。

$\angle ACB = 90^\circ$なので、$\angle CAD = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$です。

$CD = x$ とおくと、$AD = \sqrt{3}x$となります。

$BC = BD + CD = 3$より、$BD = 3 - x$となります。

$\triangle ABD$において、余弦定理より、

$AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2AB \cdot BD \cos \angle ABD$

$\triangle ABC$において、$AB = 4$であり、$BC = 3$なので、三平方の定理より、

$AC^2 + BC^2 = AB^2$

$AC^2 + 3^2 = 4^2$

$AC^2 = 16 - 9 = 7$

$AC = \sqrt{7}$

$\triangle ADC$において、$\tan 60^\circ = \frac{AD}{CD} = \sqrt{3}$なので、$AD = \sqrt{3}CD$

また、$\triangle ABD$において、余弦定理より、

$AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2 AB \cdot BD \cos \alpha$

$(\sqrt{3}CD)^2 = 4^2 + (3 - CD)^2 - 2 \cdot 4 (3-CD) \cos \alpha$

$\triangle ABC$において、$\sin \alpha = \frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt{7}}{4}$

$\cos \alpha = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{4}$

$\tan \alpha = \frac{AC}{BC} = \frac{\sqrt{7}}{3}$

(4) 線分ADを求める。

$\triangle ADC$において、$\tan 60^\circ = \frac{AD}{CD}$より、$AD = CD \tan 60^\circ = \sqrt{3} CD$

$\triangle ABC$において、$\triangle ADC$は$\angle ACB = 90^\circ$であるから、$AC = AB \sin \alpha$

$\sin \alpha = \frac{\sqrt{7}}{4}$より、$AD = AC \sin 60^\circ = \sqrt{7} \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{21}}{2}$

$CD = BC - BD = 3 - BD$

$\cos \alpha = \frac{BD}{AB} = \frac{BD}{4} = \frac{3}{4}$より、$BD = 3$

$\cos 60^\circ = \frac{CD}{AC} = \frac{1}{2}$より、$CD = \frac{\sqrt{7}}{2}$

$AD = \sqrt{3} CD = \frac{\sqrt{21}}{2}$

$\triangle ADC$において、$\tan 60^\circ = \frac{AD}{CD} = \sqrt{3}$より、$AD = \sqrt{3} CD = \frac{\sqrt{21}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin \alpha = \frac{\sqrt{7}}{4}$

(2) $\cos \alpha = \frac{3}{4}$

(3) $\tan \alpha = \frac{\sqrt{7}}{3}$

(4) 線分AD = $\frac{\sqrt{21}}{2}$

(5) 線分CD = $\frac{\sqrt{7}}{2}$