一辺の長さが6の正四面体OABCがある。辺BCの中点をM、三角形ABCの重心をG、線分OMを2:1に内分する点をHとするとき、以下の問いに答える。 (1) 線分GHの長さを求めよ。 (2) 三角形GMHの面積を求めよ。

1. 問題の内容

一辺の長さが6の正四面体OABCがある。辺BCの中点をM、三角形ABCの重心をG、線分OMを2:1に内分する点をHとするとき、以下の問いに答える。

(1) 線分GHの長さを求めよ。

(2) 三角形GMHの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 線分GHの長さを求める。

まず、各点の位置ベクトルを考える。点Oを始点とする位置ベクトルをそれぞれ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ とする。このとき、点M, G, Hの位置ベクトルはそれぞれ以下のようになる。

$$\vec{m} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$$

$$\vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$$

$$\vec{h} = \frac{2\vec{m} + 1\vec{o}}{2+1} = \frac{2\vec{m}}{3} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{3}$$

したがって、線分GHのベクトルは

$$\vec{GH} = \vec{h} - \vec{g} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{3} - \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3} = -\frac{\vec{a}}{3}$$

線分GHの長さは $|\vec{GH}| = \frac{|\vec{a}|}{3} = \frac{6}{3} = 2$

(2) 三角形GMHの面積を求める。

まず、ベクトル $\vec{GM}, \vec{GH}$ を求める。

$$\vec{GM} = \vec{m} - \vec{g} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} - \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3} = -\frac{\vec{a}}{3} + \frac{\vec{b}}{6} + \frac{\vec{c}}{6}$$

$$\vec{GH} = \vec{h} - \vec{g} = -\frac{\vec{a}}{3}$$

三角形GMHの面積は $\frac{1}{2} |\vec{GM} \times \vec{GH}|$ である。

$$\vec{GM} \times \vec{GH} = \left(-\frac{\vec{a}}{3} + \frac{\vec{b}}{6} + \frac{\vec{c}}{6}\right) \times \left(-\frac{\vec{a}}{3}\right) = -\frac{\vec{b}}{6} \times \frac{\vec{a}}{3} - \frac{\vec{c}}{6} \times \frac{\vec{a}}{3} = \frac{1}{18}(\vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c})$$

正四面体OABCなので、$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin{\theta} = 6 \cdot 6 \cdot \sin{\frac{\pi}{3}} = 36 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3}$

同様に $|\vec{a} \times \vec{c}| = 18\sqrt{3}$

$\vec{a} \times \vec{b}$ と $\vec{a} \times \vec{c}$ は直交するので、

$|\vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}| = \sqrt{(18\sqrt{3})^2 + (18\sqrt{3})^2} = \sqrt{2(18\sqrt{3})^2} = 18\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = 18\sqrt{6}$

したがって、

$\frac{1}{2} |\vec{GM} \times \vec{GH}| = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{18} (18\sqrt{6}) = \frac{\sqrt{6}}{2}$

$\vec{GH} = -\frac{\vec{a}}{3}$

$\vec{HM} = \vec{m} - \vec{h} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} - \frac{\vec{b} + \vec{c}}{3} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{6}$

$\vec{GH} \times \vec{HM} = -\frac{\vec{a}}{3} \times \frac{\vec{b} + \vec{c}}{6} = -\frac{1}{18}(\vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c})$

$|\vec{a} \times \vec{b}| = 18\sqrt{3}, |\vec{a} \times \vec{c}| = 18\sqrt{3}$

$\vec{a} \times \vec{b}$ と $\vec{a} \times \vec{c}$ のなす角は$\frac{\pi}{3}$

$|\vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}|^2 = |\vec{a} \times \vec{b}|^2 + |\vec{a} \times \vec{c}|^2 + 2|\vec{a} \times \vec{b}||\vec{a} \times \vec{c}|\cos{\frac{\pi}{3}} = (18\sqrt{3})^2 + (18\sqrt{3})^2 + 2(18\sqrt{3})^2 \cdot \frac{1}{2} = 3(18\sqrt{3})^2 = 3(18^2 \cdot 3) = 3^2 \cdot 18^2 = 9 \cdot 324 = 2916$

$|\vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}| = \sqrt{2916} = 54$

$\frac{1}{2}|\vec{GH} \times \vec{HM}| = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{18} \cdot 54 = \frac{54}{36} = \frac{3}{2}$

よって面積は$\frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) $\frac{3}{2}$