$90^\circ \le \theta \le 180^\circ$のとき、以下の(1),(2)の場合について、指定された三角関数の値から、残りの2つの三角関数の値を求めよ。 (1) $\sin \theta = \frac{3}{4}$ (2) $\tan \theta = -3$

1. 問題の内容

$90^\circ \le \theta \le 180^\circ$のとき、以下の(1),(2)の場合について、指定された三角関数の値から、残りの2つの三角関数の値を求めよ。

(1) $\sin \theta = \frac{3}{4}$

(2) $\tan \theta = -3$

2. 解き方の手順

(1) $\sin \theta = \frac{3}{4}$の場合

$90^\circ \le \theta \le 180^\circ$より、$\sin \theta \ge 0$, $\cos \theta \le 0$, $\tan \theta \le 0$である。

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$より、

$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - \left(\frac{3}{4}\right)^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$

$\cos \theta \le 0$なので、

$\cos \theta = - \sqrt{\frac{7}{16}} = - \frac{\sqrt{7}}{4}$

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$より、

$\tan \theta = \frac{\frac{3}{4}}{- \frac{\sqrt{7}}{4}} = - \frac{3}{\sqrt{7}} = - \frac{3\sqrt{7}}{7}$

(2) $\tan \theta = -3$の場合

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$より、$\sin \theta = -3 \cos \theta$

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$より、

$(-3 \cos \theta)^2 + \cos^2 \theta = 1$

$9 \cos^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

$10 \cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = \frac{1}{10}$

$\cos \theta \le 0$なので、

$\cos \theta = - \sqrt{\frac{1}{10}} = - \frac{1}{\sqrt{10}} = - \frac{\sqrt{10}}{10}$

$\sin \theta = -3 \cos \theta = -3 \left(-\frac{\sqrt{10}}{10}\right) = \frac{3\sqrt{10}}{10}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin \theta = \frac{3}{4}$のとき、$\cos \theta = - \frac{\sqrt{7}}{4}$, $\tan \theta = - \frac{3\sqrt{7}}{7}$

(2) $\tan \theta = -3$のとき、$\cos \theta = - \frac{\sqrt{10}}{10}$, $\sin \theta = \frac{3\sqrt{10}}{10}$