$\cos \theta = \frac{4}{5}$ ($0^\circ < \theta < 90^\circ$) のとき、次の式の値を求めよ。 (1) $\sin(180^\circ - \theta)$ (2) $\cos(180^\circ - \theta)$ (3) $\sin(90^\circ - \theta)$ (4) $\cos(90^\circ - \theta)$

1. 問題の内容

$\cos \theta = \frac{4}{5}$ ($0^\circ < \theta < 90^\circ$) のとき、次の式の値を求めよ。

(1) $\sin(180^\circ - \theta)$

(2) $\cos(180^\circ - \theta)$

(3) $\sin(90^\circ - \theta)$

(4) $\cos(90^\circ - \theta)$

2. 解き方の手順

まず、三角関数の相互関係を使って、$\sin \theta$ の値を求める。$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、

$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$

$0^\circ < \theta < 90^\circ$ なので、$\sin \theta > 0$ であるから、

$\sin \theta = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$

次に、三角関数の公式を用いる。

(1) $\sin(180^\circ - \theta) = \sin \theta = \frac{3}{5}$

(2) $\cos(180^\circ - \theta) = - \cos \theta = - \frac{4}{5}$

(3) $\sin(90^\circ - \theta) = \cos \theta = \frac{4}{5}$

(4) $\cos(90^\circ - \theta) = \sin \theta = \frac{3}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3}{5}$

(2) $-\frac{4}{5}$

(3) $\frac{4}{5}$

(4) $\frac{3}{5}$