与えられた3点を通る平面の方程式を求める問題です。具体的には、以下の2つの場合について解きます。 (1) (2, -1, 3), (-3, 2, 8), (1, -2, -4) (2) (3, 2, -1), (1, -1, 2), (-3, -7, 1)

1. 問題の内容

与えられた3点を通る平面の方程式を求める問題です。具体的には、以下の2つの場合について解きます。

(1) (2, -1, 3), (-3, 2, 8), (1, -2, -4)

(2) (3, 2, -1), (1, -1, 2), (-3, -7, 1)

2. 解き方の手順

平面上の3点 $A$, $B$, $C$ が与えられたとき、平面の方程式は以下のようにして求められます。

1. ベクトル $\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ を計算します。

2. $\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ の外積 $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC}$ を計算します。この $\vec{n}$ が平面の法線ベクトルになります。

3. 平面の方程式は $ax + by + cz = d$ の形で表されます。ここで、$(a, b, c)$ は法線ベクトル $\vec{n}$ の成分であり、$d$ は定数です。

4. 平面上の任意の点（例えば $A$）の座標を平面の方程式に代入して、$d$ を求めます。

(1) の場合:

$A = (2, -1, 3)$, $B = (-3, 2, 8)$, $C = (1, -2, -4)$

1. $\vec{AB} = (-3 - 2, 2 - (-1), 8 - 3) = (-5, 3, 5)$

$\vec{AC} = (1 - 2, -2 - (-1), -4 - 3) = (-1, -1, -7)$

2. $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = (3(-7) - 5(-1), 5(-1) - (-5)(-7), -5(-1) - 3(-1)) = (-21 + 5, -5 - 35, 5 + 3) = (-16, -40, 8)$

法線ベクトルとして $(-16, -40, 8)$ の代わりに、これを8で割ったベクトル $(-2, -5, 1)$ を用いることができます。

3. 平面の方程式は $-2x - 5y + z = d$ となります。

4. 点 $A(2, -1, 3)$ を代入すると、$-2(2) - 5(-1) + 3 = d$ より $-4 + 5 + 3 = d$ となり、$d = 4$ です。

したがって、平面の方程式は $-2x - 5y + z = 4$ となります。または、両辺に-1をかけて $2x + 5y - z = -4$。

(2) の場合:

$A = (3, 2, -1)$, $B = (1, -1, 2)$, $C = (-3, -7, 1)$

1. $\vec{AB} = (1 - 3, -1 - 2, 2 - (-1)) = (-2, -3, 3)$

$\vec{AC} = (-3 - 3, -7 - 2, 1 - (-1)) = (-6, -9, 2)$

2. $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = (-3(2) - 3(-9), 3(-6) - (-2)(2), -2(-9) - (-3)(-6)) = (-6 + 27, -18 + 4, 18 - 18) = (21, -14, 0)$

法線ベクトルとして $(21, -14, 0)$ の代わりに、これを7で割ったベクトル $(3, -2, 0)$ を用いることができます。

3. 平面の方程式は $3x - 2y + 0z = d$ 、つまり $3x - 2y = d$ となります。

4. 点 $A(3, 2, -1)$ を代入すると、$3(3) - 2(2) = d$ より $9 - 4 = d$ となり、$d = 5$ です。

したがって、平面の方程式は $3x - 2y = 5$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $2x + 5y - z = -4$

(2) $3x - 2y = 5$