円に内接する四角形ABCDがあり、対角線ACとBDの交点をEとする。AB=8, BD=7, DA=6, ∠BAC=∠DACである。 (1) ∠DACの他に、∠BACと等しい角を2つ答えよ。 (2) AE・ECの値を求めよ。 (3) BCの長さを求めよ。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDがあり、対角線ACとBDの交点をEとする。AB=8, BD=7, DA=6, ∠BAC=∠DACである。

(1) ∠DACの他に、∠BACと等しい角を2つ答えよ。

(2) AE・ECの値を求めよ。

(3) BCの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 円周角の定理より、∠BAC = ∠BDCと、∠DAC = ∠DBCとなる。

∠BAC = ∠DACなので、∠BDC = ∠DBCとなる。

また、∠BAC = ∠DACという条件より、ACは∠BADの二等分線であるから、弧BCと弧CDの長さは等しくなる。

したがって、∠BAC = ∠BDC = ∠DBCであり、さらに円周角の定理から∠CAD = ∠CBDであるため、∠BAC = ∠DBCである。

(2) 方べきの定理より、AE・EC = BE・EDが成り立つ。

BD = 7であり、BE = xとすると、ED = 7 - xとなる。

△ABEと△DCEにおいて、∠BAE = ∠CDE (円周角) および ∠AEB = ∠DEC (対頂角) であるから、△ABE∽△DCEである。

したがって、AB/DC = BE/EC = AE/DEとなる。

また、△ABDと△ABCにおいて、∠BAD = ∠BAC + ∠CAD = ∠BAC + ∠BAC = 2∠BAC、∠ABC = ∠DBC + ∠ABD = ∠BAC + ∠ABDである。さらに、∠ADB = ∠ACBである。

正弦定理より、BC/sin(∠BAC) = AB/sin(∠ACB), DC/sin(∠DAC) = DA/sin(∠ADC)である。

したがって、BC/AB = sin(∠BAC)/sin(∠ACB) = sin(∠DAC)/sin(∠ADB) = DC/DAである。

よって、BC/AB = DC/DAより、BC/8 = DC/6となり、DC = (3/4)BCとなる。

次に、△ABDと△ACDを考える。∠BAC = ∠DAC より、ADは∠BACの二等分線である。よって、BD/CD = AB/ACである。

また、方べきの定理より、AE・EC = BE・EDが成り立つ。

△ABEと△DCEにおいて、∠BAE = ∠CDE (円周角) および ∠AEB = ∠DEC (対頂角) であるから、△ABE∽△DCEである。

したがって、AB/DC = BE/EC = AE/DEとなる。これより、AB・DE = AE・DCとなる。

∠BAC = ∠DAC であるから、角の二等分線の定理より、AB/AD = BE/DEであり、8/6 = BE/DEである。したがって、BE = (4/3)DEである。

BD = BE + DE = (4/3)DE + DE = (7/3)DE = 7より、DE = 3となる。したがって、BE = 4となる。

よって、AE・EC = BE・ED = 4・3 = 12となる。

(3) △ABEと△DCEは相似であるから、AB/DC = AE/DE = BE/CE が成り立つ。

AB = 8, DE = 3, BE = 4であり、AE・EC = 12である。

また、AE = 12/ECであるから、8/DC = (12/EC)/3 = 4/ECとなる。よって、DC = 2ECとなる。

さらに、BE/CE = 4/CEであるから、8/DC = 4/CEとなり、DC = 2CEとなる。

△ABCと△ADCにおいて、∠BAC = ∠DACであり、ACは共通である。

したがって、△ABC ∽ △ADCであり、AB/AD = BC/DC = AC/AC = 1となる。

AB = 8, AD = 6であるから、AB/AD = 8/6 = 4/3 ≠ 1であるため、この相似は成り立たない。

△ABDにおいて、余弦定理より、$cos∠BAD = (AB^2 + AD^2 - BD^2) / (2 * AB * AD) = (8^2 + 6^2 - 7^2) / (2 * 8 * 6) = (64 + 36 - 49) / 96 = 51/96 = 17/32$

また、$cos∠BAD = cos(2∠BAC) = 2cos^2(∠BAC) - 1$である。

したがって、$2cos^2(∠BAC) - 1 = 17/32$

$2cos^2(∠BAC) = 49/32$

$cos^2(∠BAC) = 49/64$

$cos(∠BAC) = 7/8$

△ABEにおいて、余弦定理より、$AE^2 = AB^2 + BE^2 - 2*AB*BE*cos(∠ABE) = 8^2 + 4^2 - 2*8*4*cos(∠ABE)$

円に内接する四角形の対角の和は180度であるから、∠BAD + ∠BCD = 180度

BC = xとすると、方べきの定理より、AE*EC = BE*EDより、AE*EC = 4*3 = 12である。

また、△ABCと△EBCが相似であると考えられる。

したがって、△ABEと△DCEが相似であることより、$AB/DC = BE/EC = AE/DE = 8/DC = 4/EC = AE/3$

したがって、$DC = 2EC$

また、$AE = 12/EC$であるから、$8/(2EC) = (12/EC)/3$

$4/EC = 4/EC$となり、ECの値が一意に定まらない。

△ABC ∽ △DACであり、AB/DA = BC/AC = AC/DCであるから、8/6 = BC/AC = AC/DCであり、AC^2 = BC * DC

∠BAC = ∠DACより、角の二等分線の定理より、AB/AD = BC/CDとなり、8/6 = BC/CDより、CD = (3/4)BCである。

AD = 6であり、AB = 8であるから、AC^2 = BC * DC = BC * (3/4)BC = (3/4)BC^2

AC = √(3/4)BC = (√3/2)BC

よって、AE*EC = 12より、AE = 12/ECである。また、AC = AE+EC = 12/EC + EC

(√3/2)BC = 12/EC + EC

△EBCと△ABDにおいて、∠EBC = ∠ABDと∠BEC = ∠AEDが成立つ。

3. 最終的な答え

(1) ∠BDC, ∠DBC

(2) 12

(3) 6