円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=3, BC=4, CD=5, DA=6のとき、以下のものを求める問題です。 (1) ACの長さ (2) cos Bの値 (3) 四角形の面積 (4) 外接円の半径R

幾何学四角形余弦定理正弦定理面積
2025/7/23

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=3, BC=4, CD=5, DA=6のとき、以下のものを求める問題です。
(1) ACの長さ
(2) cos Bの値
(3) 四角形の面積
(4) 外接円の半径R

2. 解き方の手順

(1) ACの長さを求める
三角形ABCと三角形ADCにおいて、余弦定理を用いる。
AC = xx とおく。
三角形ABCにおいて、
x2=32+42234cosBx^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos{B}
x2=9+1624cosBx^2 = 9 + 16 - 24 \cos{B}
x2=2524cosBx^2 = 25 - 24 \cos{B} (1)
三角形ADCにおいて、四角形ABCDは円に内接するので、D=180BD = 180^\circ - B
x2=52+62256cos(180B)x^2 = 5^2 + 6^2 - 2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot \cos{(180^\circ - B)}
x2=25+3660cos(180B)x^2 = 25 + 36 - 60 \cos{(180^\circ - B)}
x2=6160(cosB)x^2 = 61 - 60 (-\cos{B})
x2=61+60cosBx^2 = 61 + 60 \cos{B} (2)
(1)と(2)より、
2524cosB=61+60cosB25 - 24 \cos{B} = 61 + 60 \cos{B}
36=84cosB-36 = 84 \cos{B}
cosB=3684=37\cos{B} = -\frac{36}{84} = -\frac{3}{7}
これを(1)に代入して、
x2=2524(37)x^2 = 25 - 24(-\frac{3}{7})
x2=25+727=175+727=2477x^2 = 25 + \frac{72}{7} = \frac{175 + 72}{7} = \frac{247}{7}
x=2477=17297x = \sqrt{\frac{247}{7}} = \frac{\sqrt{1729}}{7}
(2) cos Bの値を求める
上記より、cosB=37\cos{B} = -\frac{3}{7}
(3) 四角形の面積を求める
四角形ABCDの面積Sは、三角形ABCと三角形ADCの面積の和である。
S=1234sinB+1256sin(180B)S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 \cdot \sin{B} + \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 \cdot \sin{(180^\circ - B)}
S=6sinB+15sinB=21sinBS = 6 \sin{B} + 15 \sin{B} = 21 \sin{B}
sin2B+cos2B=1\sin^2{B} + \cos^2{B} = 1 より
sin2B=1cos2B=1(37)2=1949=4049\sin^2{B} = 1 - \cos^2{B} = 1 - (-\frac{3}{7})^2 = 1 - \frac{9}{49} = \frac{40}{49}
sinB=4049=2107\sin{B} = \sqrt{\frac{40}{49}} = \frac{2\sqrt{10}}{7}
S=212107=610S = 21 \cdot \frac{2\sqrt{10}}{7} = 6\sqrt{10}
(4) 外接円の半径Rを求める
正弦定理より、
ACsinB=2R\frac{AC}{\sin{B}} = 2R
R=AC2sinB=1729722107=1729410=1729040R = \frac{AC}{2\sin{B}} = \frac{\frac{\sqrt{1729}}{7}}{2\cdot \frac{2\sqrt{10}}{7}} = \frac{\sqrt{1729}}{4\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{17290}}{40}

3. 最終的な答え

(1) ACの長さ: 17297\frac{\sqrt{1729}}{7}
(2) cos Bの値: 37-\frac{3}{7}
(3) 四角形の面積: 6106\sqrt{10}
(4) 外接円の半径R: 1729040\frac{\sqrt{17290}}{40}

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