三角形ABCにおいて、$AB=4$, $CA=6$, $\angle A = 60^\circ$である。辺BCの中点をMとするとき、以下の値を求めよ。 (1) 辺BCの長さ (2) $\cos B$ の値 (3) 辺AMの長さ

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=4$, $CA=6$, $\angle A = 60^\circ$である。辺BCの中点をMとするとき、以下の値を求めよ。

(1) 辺BCの長さ

(2) $\cos B$ の値

(3) 辺AMの長さ

2. 解き方の手順

(1) 辺BCの長さを求める。余弦定理を用いる。$BC = a$とすると、

$a^2 = AB^2 + CA^2 - 2 \cdot AB \cdot CA \cdot \cos A$

$a^2 = 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cos 60^\circ$

$a^2 = 16 + 36 - 48 \cdot \frac{1}{2}$

$a^2 = 52 - 24 = 28$

$a = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$

したがって、$BC = 2\sqrt{7}$

(2) $\cos B$ の値を求める。余弦定理を用いる。$AC = b$とすると、

$b^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B$

$6^2 = 4^2 + (2\sqrt{7})^2 - 2 \cdot 4 \cdot 2\sqrt{7} \cdot \cos B$

$36 = 16 + 28 - 16\sqrt{7} \cos B$

$36 = 44 - 16\sqrt{7} \cos B$

$16\sqrt{7} \cos B = 44 - 36 = 8$

$\cos B = \frac{8}{16\sqrt{7}} = \frac{1}{2\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}}{14}$

(3) 辺AMの長さを求める。中線定理を用いる。

$AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + BM^2)$

$4^2 + 6^2 = 2(AM^2 + (\sqrt{7})^2)$

$16 + 36 = 2(AM^2 + 7)$

$52 = 2AM^2 + 14$

$2AM^2 = 52 - 14 = 38$

$AM^2 = 19$

$AM = \sqrt{19}$

3. 最終的な答え

(1) 辺BCの長さ: $2\sqrt{7}$

(2) $\cos B$ の値: $\frac{\sqrt{7}}{14}$

(3) 辺AMの長さ: $\sqrt{19}$