$\tan \theta = \frac{2}{5}$ のとき、$\cos \theta$ と $\sin \theta$ の値を求めよ。ただし、$\theta$ は鋭角とする。

1. 問題の内容

$\tan \theta = \frac{2}{5}$ のとき、$\cos \theta$ と $\sin \theta$ の値を求めよ。ただし、$\theta$ は鋭角とする。

2. 解き方の手順

まず、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{2}{5}$ であることを利用する。

$\sin \theta = 2k$、$\cos \theta = 5k$ とおける（$k$は定数）。

次に、三角関数の相互関係 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を利用する。

$(2k)^2 + (5k)^2 = 1$

$4k^2 + 25k^2 = 1$

$29k^2 = 1$

$k^2 = \frac{1}{29}$

$\theta$は鋭角なので、$k>0$。よって、$k = \frac{1}{\sqrt{29}}$

したがって、

$\cos \theta = 5k = \frac{5}{\sqrt{29}}$

$\sin \theta = 2k = \frac{2}{\sqrt{29}}$

3. 最終的な答え

$\cos \theta = \frac{5}{\sqrt{29}}$

$\sin \theta = \frac{2}{\sqrt{29}}$