三角形ABCにおいて、AB=4, AC=m+1, BC=m+3とする。ここでmは正の数である。三角形ABCの外接円の半径をR、内接円の半径をrとする。 (1) ACが最大辺でないという条件と、三角形ABCが直角三角形となるようなmの値を求める。 (2) 三角形ABCの面積Sをmで表し、m=5のときのSの値を求める。 (3) r = $\sqrt{2}$のときのmの値を求める。 (4) $\frac{R}{r} = \frac{8}{3}$となるようなmの値を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AB=4, AC=m+1, BC=m+3とする。ここでmは正の数である。三角形ABCの外接円の半径をR、内接円の半径をrとする。

(1) ACが最大辺でないという条件と、三角形ABCが直角三角形となるようなmの値を求める。

(2) 三角形ABCの面積Sをmで表し、m=5のときのSの値を求める。

(3) r = $\sqrt{2}$のときのmの値を求める。

(4) $\frac{R}{r} = \frac{8}{3}$となるようなmの値を求める。

2. 解き方の手順

(1) ACが最大辺でない条件は、$m+1 \le m+3$かつ$m+1 \le 4$であるから、$m \le 3$である。

直角三角形となる条件は、以下の3パターンがある。

(i) $AB^2 + AC^2 = BC^2$のとき: $4^2 + (m+1)^2 = (m+3)^2$

$16 + m^2 + 2m + 1 = m^2 + 6m + 9$

$4m = 8$

$m = 2$

(ii) $AB^2 + BC^2 = AC^2$のとき: $4^2 + (m+3)^2 = (m+1)^2$

$16 + m^2 + 6m + 9 = m^2 + 2m + 1$

$4m = -24$

$m = -6$ (m>0より不適)

(iii) $AC^2 + BC^2 = AB^2$のとき: $(m+1)^2 + (m+3)^2 = 4^2$

$m^2 + 2m + 1 + m^2 + 6m + 9 = 16$

$2m^2 + 8m - 6 = 0$

$m^2 + 4m - 3 = 0$

$m = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 12}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{28}}{2} = -2 \pm \sqrt{7}$

$m>0$より、$m = -2 + \sqrt{7}$

$m \le 3$を満たすものを探す。

$m = 2 < 3$

$m = -2 + \sqrt{7} = -2 + 2.64... < 1 < 3$

よって、$m = 2$と$m = -2 + \sqrt{7}$

(2) ヘロンの公式より、$s = \frac{4 + (m+1) + (m+3)}{2} = \frac{2m + 8}{2} = m+4$

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{(m+4)(m+4-4)(m+4-(m+1))(m+4-(m+3))} = \sqrt{(m+4)(m)(3)(1)} = \sqrt{3m(m+4)}$

$m=5$のとき、$S = \sqrt{3 \cdot 5 (5+4)} = \sqrt{15 \cdot 9} = \sqrt{135} = \sqrt{9 \cdot 15} = 3\sqrt{15}$

(3) 内接円の半径rは、$S = rs$より、$r = \frac{S}{s} = \frac{\sqrt{3m(m+4)}}{m+4}$

$r = \sqrt{2}$のとき、$\frac{\sqrt{3m(m+4)}}{m+4} = \sqrt{2}$

$\frac{3m(m+4)}{(m+4)^2} = 2$

$3m^2 + 12m = 2(m^2 + 8m + 16)$

$3m^2 + 12m = 2m^2 + 16m + 32$

$m^2 - 4m - 32 = 0$

$(m-8)(m+4) = 0$

$m=8, -4$

$m>0$より、$m=8$

(4) $R = \frac{abc}{4S}$なので、$R = \frac{4(m+1)(m+3)}{4\sqrt{3m(m+4)}} = \frac{(m+1)(m+3)}{\sqrt{3m(m+4)}}$

$r = \frac{S}{s} = \frac{\sqrt{3m(m+4)}}{m+4}$

$\frac{R}{r} = \frac{(m+1)(m+3)}{\sqrt{3m(m+4)}} \cdot \frac{m+4}{\sqrt{3m(m+4)}} = \frac{(m+1)(m+3)(m+4)}{3m(m+4)} = \frac{(m+1)(m+3)}{3m}$

$\frac{R}{r} = \frac{8}{3}$より、$\frac{(m+1)(m+3)}{3m} = \frac{8}{3}$

$(m+1)(m+3) = 8m$

$m^2 + 4m + 3 = 8m$

$m^2 - 4m + 3 = 0$

$(m-1)(m-3) = 0$

$m=1, 3$

3. 最終的な答え

(1) m = 2, -2 + $\sqrt{7}$

(2) S = $\sqrt{3m(m+4)}$, m=5のとき S = $3\sqrt{15}$

(3) m = 8

(4) m = 1, 3