放物線 $y = 4 - x^2$ と $x$軸で囲まれた部分に長方形ABCDが内接している。この長方形の周の長さが最大となるとき、ABの長さを求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = 4 - x^2$ と $x$軸で囲まれた部分に長方形ABCDが内接している。この長方形の周の長さが最大となるとき、ABの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、長方形ABCDの頂点Dの$x$座標を$t$とおく。

このとき、Dの座標は$(t, 4-t^2)$となる。

長方形の対称性より、Cの座標は$(t, 0)$、Bの座標は$(-t, 0)$、Aの座標は$(-t, 4-t^2)$となる。

ただし、$0 < t < 2$とする。

長方形ABCDの横の長さBCは $t - (-t) = 2t$、縦の長さABは $4 - t^2$である。

したがって、長方形の周の長さLは、

$L = 2(2t + 4 - t^2) = 4t + 8 - 2t^2 = -2t^2 + 4t + 8$

Lを$t$について平方完成すると、

$L = -2(t^2 - 2t) + 8 = -2(t^2 - 2t + 1 - 1) + 8 = -2((t-1)^2 - 1) + 8 = -2(t-1)^2 + 2 + 8 = -2(t-1)^2 + 10$

$0 < t < 2$の範囲において、$L$は$t=1$のとき最大値10をとる。

このとき、ABの長さは $4 - t^2 = 4 - 1^2 = 3$となる。

3. 最終的な答え

ABの長さは 3