半径1の円に内接する三角形ABCがあり、$2\vec{OA} + 3\vec{OB} + 4\vec{OC} = \vec{0}$を満たしている。この円上に点Pがあり、線分ABと線分CPは直交している。 (1) 内積$\vec{OA} \cdot \vec{OB}$と$|\vec{AB}|$を求める。 (2) 線分ABと線分CPの交点をHとするとき、AH:HBを求める。 (3) 四角形APBCの面積を求める。

1. 問題の内容

半径1の円に内接する三角形ABCがあり、$2\vec{OA} + 3\vec{OB} + 4\vec{OC} = \vec{0}$を満たしている。この円上に点Pがあり、線分ABと線分CPは直交している。

(1) 内積$\vec{OA} \cdot \vec{OB}$と$|\vec{AB}|$を求める。

(2) 線分ABと線分CPの交点をHとするとき、AH:HBを求める。

(3) 四角形APBCの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$2\vec{OA} + 3\vec{OB} + 4\vec{OC} = \vec{0}$ より、

$4\vec{OC} = -2\vec{OA} - 3\vec{OB}$

$|\vec{OC}|^2 = 1$ であるから、

$|4\vec{OC}|^2 = |-2\vec{OA} - 3\vec{OB}|^2$

$16 = 4|\vec{OA}|^2 + 12\vec{OA} \cdot \vec{OB} + 9|\vec{OB}|^2$

$|\vec{OA}|^2 = |\vec{OB}|^2 = 1$ より、

$16 = 4 + 12\vec{OA} \cdot \vec{OB} + 9$

$12\vec{OA} \cdot \vec{OB} = 3$

$\vec{OA} \cdot \vec{OB} = \frac{1}{4}$

$|\vec{AB}|^2 = |\vec{OB} - \vec{OA}|^2 = |\vec{OB}|^2 - 2\vec{OA} \cdot \vec{OB} + |\vec{OA}|^2 = 1 - 2(\frac{1}{4}) + 1 = \frac{3}{2}$

$|\vec{AB}| = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$

(2)

線分ABと線分CPは直交するので、$\vec{AB} \cdot \vec{CP} = 0$

$\vec{OP} = s\vec{OA} + t\vec{OB}$ ($s+t=1$) とおくことができる。

$\vec{OH} = (1-k)\vec{OA} + k\vec{OB}$ とおく ($0 < k < 1$)

$\vec{CH} = \vec{OH} - \vec{OC} = (1-k)\vec{OA} + k\vec{OB} - \vec{OC}$

$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}$

$\vec{AB} \cdot \vec{CH} = (\vec{OB} - \vec{OA}) \cdot ((1-k)\vec{OA} + k\vec{OB} - \vec{OC}) = 0$

$(k-1)\vec{OA} \cdot \vec{OA} + k\vec{OB} \cdot \vec{OB} - \vec{OB} \cdot \vec{OC} - (1-k)\vec{OA} \cdot \vec{OA} - k\vec{OA} \cdot \vec{OB} + \vec{OA} \cdot \vec{OC} - (1-k)\vec{OA} \cdot \vec{OB} - k\vec{OB} \cdot \vec{OB} + \vec{OB} \cdot \vec{OC} = 0$

$2\vec{OA} + 3\vec{OB} = -4\vec{OC}$ より、

$\vec{OA} \cdot (2\vec{OA} + 3\vec{OB}) = -4\vec{OA} \cdot \vec{OC}$

$2 + 3/4 = -4\vec{OA} \cdot \vec{OC}$

$\vec{OA} \cdot \vec{OC} = -\frac{11}{16}$

同様に、

$\vec{OB} \cdot \vec{OC} = -\frac{17}{12}$

$(1-k)\vec{OA} + k\vec{OB} = \frac{2\vec{OA} + 3\vec{OB}}{5} = -\frac{4}{5}\vec{OC}$

$|\vec{CH}|^2 = |\vec{OH}-\vec{OC}|^2$

AH : HB = k : 1-k = 3 : 2

(3)

3. 最終的な答え

(1) $\vec{OA} \cdot \vec{OB} = \frac{1}{4}$, $|\vec{AB}| = \frac{\sqrt{6}}{2}$

(2) AH : HB = 3 : 2

(3) 四角形APBCの面積 は不明